四元數運動學筆記（1）旋轉的表示

1.參考資料
2.旋轉矩陣的性質
2.1旋轉矩陣
2.2旋轉矩陣的奇異點
2.3旋轉矩陣的微分方程
3.向量叉乘與斜對稱矩陣
4.四元數
4.1四元數表示
4.2四元數乘法
4.3四元數的性質

1.參考資料

• Quaternion kinematics for the error-state KF
• barfoot《state estimation forrobotics》
• 袁信、鄭鍔《捷聯式慣性導航原理》
• 以上書籍的下載鏈接鏈接：http://pan.baidu.com/s/1c1G0k5U 密碼：jdsz

2.旋轉矩陣的性質

2.1旋轉矩陣

• 定義frame1到frame2的旋轉矩陣為 C21 $C_{21}$，旋轉矩陣是單位正交矩陣。

  
  

• 對於旋轉矩陣的下標可以這樣理解，等式右邊是旋轉矩陣轉化后的新位置坐標，左右是上一時刻的位置坐標,因此旋轉的疊加（積分）即在原來的基礎上再左乘新的旋轉矩陣。

  

• z-y-x即圖中3-2-1，是我看很多導航的書的表示方式，barfoot的書中以1-2-3旋轉方式作為航空中常用的旋轉方式，對比袁信的捷聯慣導書和barfoot的書，兩者每次旋轉對應的旋轉矩陣 C1,C2,C3 $C_1,C_2,C_3$是相通的，只不過定義的旋轉次序不同使得旋轉矩陣的形式不太一樣
  -歐拉角的大小和方向定義：

  

• barfoot書中每次旋轉的旋轉矩陣定義，和袁信書中一致。

  
  
  

• 以袁信書中的z-y-x即3-2-1的旋轉方式表示的旋轉矩陣，,這里frame1看作是n系，frame2看作是b系，則導航系n到機體系b的旋轉矩陣 C21=Cbn=（Cnb）−1=C1C2C3 $C_{21}=C_n^b=（C_b^n{）}^{-1}=C_1{C}_2{C}_3$

  

• 旋轉矩陣的小角度表示：當旋轉角都比較小時，利用三角函數的與歐拉角的近似,省略小量的二次以上部分，得到：

  

2.2旋轉矩陣的奇異點

• barfoot書中以1-2-3的旋轉方式為例，如果中間那次旋轉 θ2=π2 ${\theta }_2=\frac{\pi }{2}$，則旋轉就會變成繞1軸旋轉 θ1+θ3 ${\theta }_1+{\theta }_3$,即旋轉耦合在一起，即這次旋轉的歐拉角無法恢復。

  

2.3旋轉矩陣的微分方程

• 哥氏定理

  

• 利用哥氏定理推導旋轉矩陣的微分方程

  
  
  

3.向量叉乘與斜對稱矩陣

• 向量叉乘可以表示成向量的叉乘矩陣和向量相乘，叉乘矩陣是斜對稱矩陣,這種表示在旋轉相關公式里經常用到。對於列向量a,b有：

  

4.四元數

4.1四元數表示

• 四元數有很多表示方法，這里采用標量+向量的形式表示（scalar+vector）

  
  

4.2四元數乘法

• 兩個四元數等於各個元素分別相乘，表示旋轉的積分

  
  

• 四元數乘法不滿足交換律(commutative)

  

• 四元數乘法滿足結合律(associative)和分配律(distributive)

  

• 兩個四元數相乘可以表示為矩陣的形式

  

• 利用四元數的結合律得到

  

4.3四元數的性質

• 單位1 四元數(Identity):

  

• 共軛四元數：虛數部分符號相反

  

• 單位四元數的逆等於其共軛四元數