質點運動學

1. 概述
   1. 我們忽略物體的大小和形狀，只考慮它的運動情況，這就是質點運動學。本章將討論和物體的運動相關的知識，包括運動、速度和加速度的一些概念。

2. 質點、參考系和坐標系、時間

   1. 質點
      1. 定義：忽略物體的大小和形狀，把物體簡化為一個有質量的物質點，叫質點
      2. 把物體看做質點的條件：
         1. 物體的大小和形狀對研究問題的影響可以忽略
         2. 物體在平動（物體內任意兩點的運動狀態相同）
   2. 參考系和坐標系
      1. 參考系=參照物+坐標系
      2. 坐標系
         1. 直線坐標系
         2. 平面坐標系（仍然只描述物體的位置，要和時間軸分開）
   3. 時刻和時間間隔
      1. 時間軸
         1. 在上面描點以表示時間，和直線坐標系分開
      2. 時刻
         1. 描述點（十二點下課）
      3. 時間間隔
         1. 描述過程（跑步花了五分鍾）

3. 質點運動的位移、路程、速度、加速度

   1. 位移和路程
      1. 位移：描述物體位置的變化，用從初位置指向末位置的有向線段表示，是矢量
      2. 路程：是物體運動軌跡的長度，是標量
   2. 速度
      1. 平均速度：在變速運動中，物體在某段時間內的位移與發生這段位移所用時間的比值，即$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$，是矢量
      2. 瞬時速度：運動物體在某一時刻（或某一位置）的速度，當$\Delta t→0$時，$\overline{v}$的極限為即時速度$v$，$v=\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}$。
   3. 速率：瞬時速度的大小，是標量（即初中討論的“速度”）
   4. 加速度：描述速度變化的方向和快侵，速度的變化$\Delta v$和這一變化所用的時間$\Delta t$的比值$\frac{\Delta v}{\Delta t}$叫做這段時間的平均加速度，記作$\overline{a}$，當$\Delta t→0$時，$\overline{a}$的極限叫即時加速度$a$，$ a = \displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}$

4. 矢量的合成與分解

   1. 完全同向量的運算
   2. 矢量的合成：矢量是有向線段，常用帶箭頭的字母或黑體字表示，適用的加法有平行四邊形（定）法則和三角形（定）法則
      1. 平行四邊形法則：用表示這兩個矢量的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就表示合矢量的大小和方向
      2. 三角形定則：把兩個矢量首尾相接，從而求出合矢量的方法
   3. 矢量的正交分解

5. 相對運動

   1. 運動的合成與分解，運動的獨立性原理
      1. 時間上的同一性
      2. 合運動為實際運動
   2. 速度合成定理
   3. 物系關聯速度：桿或繩約束物系各點速度相關特征：在同一時刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度；如果感（或張緊的繩）上各點相對轉動軸的角速度相等

6. 勻變速直線運動概念

   1. 定義：沿着一條直線且加速度不變的運動
   2. 分類
      1. 勻加速直線運動，$a$與$v_0$方向相同.
      2. 勻減速直線運動，$a$與$v_0$方向相反
         1. 反向加速運動仍然是減速運動
      3. 注意
         1. 此處不包括勻速直線運動，$a\neq 0$
         2. 負速度可以是反向正速度或正向負速度
         3. 解題時注意永遠是末速度減去初速度！
   3. 勻變速直線運動基本規律
      1. 三個基本公式
         1. 速度公式：$v=v_0+at$
         2. 位移公式：$\displaystyle x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$
         3. 位移速度關系式：$v_2-v_0^2=2ax$
      2. 兩個重要推論
         1. 平均速度公式$\displaystyle v=\frac{x}{t}=v\frac{t}{2}=\frac{v_0+v}{2}$
         2. 中間位移速度公式$\displaystyle v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}{2}}$
            1. 勻變速直線運動中，當速度為正時，$\displaystyle v_{\frac{s}{2}}$嚴格大於$\displaystyle v{\frac{t}{2}}$
         3. 任意兩個連續相等的時間間隔$T$內的位移之差為一恆量，即$\displaystyle \Delta x=aT^2$

7. 勻變速直線運動的圖象

   1. $x-t$圖象
      1. 物理意義：反映了物體做直線運動的位移隨時間變化的規律
      2. 斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體速度的大小，斜率正負表示物體速度的方向
   2. $v-t$圖象
      1. 物理意義：反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規律
      2. 斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體在該點加速度的大小，斜率正負表示物體加速度的方向
      3. "面積"的意義
         1. 圖線與時間軸圍成的面積表示相應時間內的位移的大小
         2. 若面積在時間軸的上方，表示位移方向為正：若此面積在時間軸的下方，表示位移方向為負

8. 初速度為零的勻變速直線運動的等時和等位移划分四個推論

   1. $T$末、$2T$末、$3T$末，…瞬時速度的比為：$\displaystyle v_1：v_2：v_3：…：v_n=1：2：3：…：n$
      1. $x末，2x末，3x末，…，nx末$瞬時速度之比(基於$v^2=as$)：$\displaystyle 1：\sqrt{2}：\sqrt{3}：……：\sqrt{n}$
         1. $\displaystyle v_x=\sqrt{2ax}，v_{2x}=\sqrt{2a\cdot 2x}，…，v_{nx}=\sqrt{2a\cdot nx}$
   2. $T$內、$2T$內、$3T$內…位移的比為：$\displaystyle x_1：x_2：x_3：…：x_n=1^2：2^2：3^2：…：n^2$
   3. 第一個$T$內、第二個$T$內、第三個$T$內……位移的比為：$\displaystyle x_1：x_2：x_3：…：x_n = 1：3：5：…：(2n-1)$
   4. 從靜止開始通過連續相等的位移所用時間的比為$\displaystyle t_1：t_2：t_3：…：t_n=1：(\sqrt{2}-1)：(\sqrt{3}-\sqrt{2})：…$
      1. $\displaystyle x，2x，3x，…，nx$所用時間之比(基於$\displaystyle s=\frac{1}{2} at^2$)：$\displaystyle 1：\sqrt{2}：\sqrt{3}：……：\sqrt{n}$
         1. $\displaystyle t_x=\sqrt{\frac{2x}{a}}，t_{2x}=\sqrt{\frac{2(2x)}{a}}，t_{nx}=\sqrt{\frac{2(nx)}{a}}$

9. 自由落體和豎直上拋運動規律一加速度為$g$的勻變速直線運動

   1. $g$
      1. 重力常數：單位$\displaystyle N/kg$
      2. 重力加速度：單位$\displaystyle m/s^2$
      3. 統一
         1. 由牛頓第二定律得$\displaystyle N=kg\cdot t/m^2$
         2. $∴\displaystyle N/kg=m/s^2$
   2. 兩種方法
      1. "分段法"就是把豎直上拋運動分為上升階段和下降階段，上升階段物體做勻減速直線運動，下降階段物體做自由落體運動，下落過程是上升過程的逆過程
      2. "全程法"就是把整個過程看成是一個勻減速運動過程。從全程來看，加速度的方向始終與初速度$v_0$的方向相反。
   3. 巧用豎直上拋運動的對稱性速度對稱：（相同加速度的往返運動的特點）
      1. 速度對稱：上升和下降過程經過同一位置時速度等大反向
      2. 時間對稱：上升和下降過程經過同一段高度的上升時間和下降時間相等