反向運動學(ik)，英文名稱是inverse kinematics，主要應用在機器人手臂操作及計算機動畫等領域，它與正向運動學即fk是相反的過程，具體定義在此不多說，感興趣的可以看下wikipedia對於ik的定義。本文主要講述一下我所看過的求解ik的方法。求解Ik的方法主要分為兩種，一種是分析法，即通過三角函數等進行分析計算，對於骨骼數少的可以進行此種運算，但是對於鏈很長的情況，用此方法就行不通，有些文章對此進行了改進，可以對多個骨骼進行分析計算得出結果，比如這篇文章：A 12-DOF Analytic Inverse Kinematics Solver for Human Motion Control[1]，當然還有其他類似的文章，第二種方法就是數值方法，通過不斷迭代運算求出一個近似解，這類方法比較多，同時也是普遍被接受的一類方法，比如CCD (cyclic coordinate descent)[2], Jacobian Transpose[3], pseudoinverse method[4], damped least squares methods[5], selectively damped least squares methods[6],比較詳細的介紹可以在Introduction to Inverse Kinematics with JacobianTranspose, Pseudoinverse andDamped Least Squares methods這遍文章中看到，從后面的文獻中可以看到你感興趣的東西，下面就簡單的介紹下各種方法。
1 CCD (cyclic coordinate descent),具體解釋請看這里，作者已經解釋的很詳細了，很好的一篇文章，http://multi-crash.com/?p=45 ，作者也把他的動畫庫開源了，可以下載代碼研究下，我也參考作者的代碼實現了下，但是發現效果並不是特別好，這是ccd本身存在的問題，還有其他一些文章，比如Jeff Lander的Oh my God, I Inverseted kine!以及Making Kine More Flexible，這里詳細得介紹了原理。
2 Jacobian Transpose. 雅可比轉置矩陣是整個系統的偏導，它定義了末端效應器（end effector)如何基於整個系統的瞬時變換而變化。末端效應器就是指整個骨骼鏈的末端，比如你現在要對整個手臂做ik，那么手掌（假設手掌上只有一個骨骼）就是末端效應器。如下圖1所示，此圖來自Mathmatics for inverse kinematics, Ming Yao，里面也有對ccd和jacobian transpose 以及pesudoinverse method的介紹，看完后能對求解Ik的三種方法有個大概了解。Jason CLark的inverse kinematics，以及Chris Hecker的My Adventure with Inverse Kinematics。圖2是雅可比矩陣的表示形式，具體求解方法可參照Ming Yao的Pdf，然后我們對求得的矩陣示轉置，就可以得到要求的矩陣。
圖1. 末端效應器 圖2 雅可比矩陣
3 Pseudoinverse Jacobian. 由於上面求得的雅可比矩陣可能不為方陣，或者矩陣本身是奇異矩陣，所以不能直接求逆。求出的結果和推導過程如圖3所示，具體請參考Ming Yao的pdf,或者[4]。
圖3 Pseudoinverse Jacobian推導過程
4 damped least squares methods 和selectively damped least squares methods請參看文獻里面的[5],[6]，在[6]里面作者分別實現了Jacobian Transpose， pseudoinverse Jacobian, damped least squares methods,selectively damped least squares methods,並對其結果進行了分析，指出了他們的優缺點，以及各種方法適合在什么情況下使用，在此感謝作者無私的精神，把代碼貢獻出來。開源建模軟件blender中也使用了這兩種方法，具體可以看這里http://wiki.blender.org/index.php/User:Brecht/SummerOfCode2005/Inverse_Kinematics,因為是開源的，感興趣的也可以看下blender實現部分的源代碼。
游戲中用分析法以及簡單的ccd就足夠了（比如簡單的游戲中角色的腳的放置問題），但就目前我用的ccd效果來看不是特別好，可能有些細節沒有注意到。在ce3一個老版本中是只有分析法和ccd的，不過對於其中有些地方的處理不是特別清楚，如果有熟悉ce3 ik的大牛還請指導一下。:-)，如果有時間的話可能把jacobian transpose, pseudoinverse jacobian, sdls集成進去看看效果與效率如何，是否適用於游戲中。
沒什么實質性的東西，大多數都是我看過的文章及個人的理解，如有錯誤還請指正，希望對研究ik的朋友有所幫助。
此文並未完結，我會陸續把我個人在實現中遇到的問題和想法寫到這。
參考文獻：
[1] Xiaomao Wu, Lizhuang Ma, Zhihua Chen, Yan Gao, A 12-DOF Analytic Inverse Kinematics Solver for Human Motion Control
[2] Li-Chun Tommy Wang and Chih Cheng Chen, A combined optimization Method for solving the inverse kinematics problems of mechanical manipulators
[3] A. Balestrino, G. De Maria, and L. Sciavicco, Robust control of robotic manipulators
[4] D. E. Whitney, Resolved motion rate control of manipulators and human prostheses
[5] C. W. Wampler, Manipulator inverse kinematic solutions based on vector formulations and damped least squares methods
[6] Samuel R. Buss, Jin-Su Kim, Selectively Damped Least Squares for Inverse Kinematics