如果 $A A^{\top}=E$ ( $E$ 為單位矩陣， $A^{\top} $ 表示“矩陣 $A$ 的轉置矩陣") 或 $A^{\top} A=E$ ，則 $n$ 階實矩陣 $A$ 稱為正交矩陣 。正交矩陣是實數 特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。盡管我們在這里只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交 矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於復數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣 中所有元都是實數) 可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
定義
如果: $ \mathrm{AA}^{\top}=\mathrm{E} ( \mathrm{E} $ 為單位矩陣， $\mathrm{A}^{\top}$ 表示“矩陣 $ \mathrm{A}$ 的轉置矩陣” ) 或 $ \mathrm{A}^{\top} \mathrm{A}=\mathrm{E} $，則 $\mathrm{n}$ 階實矩陣 $ \mathrm{A} $ 稱為正交矩陣，若 $ \mathrm{A} $ 為正交陣， 則滿足以下條件:
- $A ^{\top} $是正交矩陣
- ($E$為單位矩陣)
- $A { }^{\top}$ 的各行是單位向量目兩兩正交
- $A { }^{\top}$ 的各列是單位向量目兩兩正交
- $(A x, A y)=(x, y) x, y \in R $
- $ |A|=1$ 或 $ -1 $
- $ A^{T}=A^{-1} $
- 正交矩陣通常用字母 $Q$ 表示。
舉例：
若 $A=\left[r_{11} r_{12} r_{13} ; r_{21} r_{22} r_{23} ; r_{31} r_{32} r_{33}\right]$ ，則有：
$\begin{array}{l}r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}=r_{12}^{2}+r_{22}^{2}+r_{32}^{2}=r_{13}^{2}+r_{23}^{2}+r_{33}^{2}=1 \\r_{11} \cdot r_{12}+r_{21} \cdot r_{22}+r_{31} \cdot r_{32}=0\end{array}$
定理
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣 $Q$，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為 $+1$，則稱之為特殊正交矩陣。
1.方陣 $A$ 正交的充要條件是 $A$ 的行（列）向量組是單位正交向量組；
2.方陣 $A$ 正交的充要條件是 $A$ 的 $n$ 個行（列）向量是 $n$ 維向量空間的一組標准正交基；
3.$A$ 是正交矩陣的充要條件是：$A$ 的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4.$A$ 的列向量組也是正交單位向量組。
5.正交方陣是歐氏空間中標准正交基到標准正交基的過渡矩陣。
參考：https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5/407284?fr=aladdin