矩陣
矩陣定義
矩陣(Matrix)通俗地講可以看做一個二維數組,每個位置上都是一個數字,更准確地說它是一個按照矩形陣列排列的實數或復數集合。
下面來看看矩陣的運算,其中矩陣加減法和數乘矩陣被稱為矩陣的線性運算
矩陣加減法
定義
矩陣加減法僅在矩陣形態相同時被定義,也就是兩個矩陣行數列數均相同時才有加減法。矩陣的加法和減法就是把它們對應位置上的數字相加減,假設有兩個矩陣 \(A,B\),均有 \(n\) 行 \(m\) 列,那么 \(A \pm B\) 得到的新矩陣 \(C\) 也是 \(n*m\) 的矩陣,其中 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ C_{i,j}=A_{i,j}\pm B_{i,j}\),更形象的寫法如下:
運算律
矩陣加減法滿足如下運算律(注意 \(A,B,C\) 都必須是同型矩陣):
交換律:\(A+B=B+A\)
結合律:\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
數乘矩陣
定義
一個數字乘一個矩陣就是把矩陣中的每一個數都乘上這個數字。假設 \(B=\lambda A\),那么有 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ B_{i,j}=\lambda A_{i,j}\),即:
運算律
數乘矩陣滿足如下運算律:
交換律:\(\lambda(\mu A)=\mu(\lambda A)=(\lambda\mu)A\)
分配律:\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\qquad\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
矩陣轉置
定義
假設有一個 \(n\) 行 \(m\) 列的矩陣 \(A\),那么我們把 \(A\) 中的每一行都換成序號相同的列,把每一列都換成序號相同的行,得到的新矩陣就稱作原矩陣 \(A\) 的轉置矩陣記為 \(A^T\) 或 \(A'\),此處 \(A\) 的轉置矩陣就是 \(m\) 行 \(n\) 列的
也就是說 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ A^T_{j,i}=A_{i,j}\)
運算律
矩陣轉置滿足如下運算律:
\((A^T)^T=A\)
\((A^T+B^T)=A^T+B^T\)
\((\lambda A)^T=\lambda(A^T)\)
\((AB)^T=B^TA^T\)
矩陣乘法
定義
僅當一個矩陣的列數與另一個矩陣的行數相同時矩陣乘法才被定義,假設矩陣 \(A\) 為 \(n*m\) 的矩陣,矩陣 \(B\) 為 \(m*p\) 的矩陣,那么 \(A*B\) 所得到的矩陣 \(C\) 就是一個 \(n*p\) 的矩陣,其中:
也就是說參與矩陣乘法運算的兩個矩陣中,第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數,算出的新矩陣的行數為第一個矩陣的行數,新矩陣的列數為第二個矩陣的列數,新矩陣中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素就等於第一個矩陣的第 \(i\) 行的所有元素與第二個矩陣的第 \(j\) 行的所有元素分別相乘,然后把乘積相加得到的結果
下面來舉個例子幫助直觀理解,例如我們令 \(AB=C\),那么我們可以展開寫成:
那么 \(c_{1,2}\) 和 \(c_{2,1}\) 分別是由哪些數字相乘得到的呢?
從圖上就能直觀地看出 \(c_{1,2}=a_{1,1}*b_{1,2}+a_{1,2}*b_{2,2}+a_{1,3}*b_{3,2}+a_{1,4}*b_{4,2}\) ,也就是 \(A\) 的第一行和 \(B\) 的第二列相乘相加
運算律
矩陣乘法滿足如下運算律:
乘法結合律:\((AB)C=A(BC)\)
乘法(左、右)分配律:\((A+B)C=AC+BC\) 以及 \(C(A+B)=CA+CB\)
數乘結合性:\((\lambda A)B=\lambda(AB)=A(\lambda B)\)
c++ code
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],n,m,p;
//這里省略讀入,假設輸入的a,b分別為n行m列和m行p列的矩陣,從下標0開始存放
int c[n][p];//矩陣乘法結果為一個n行p列的矩陣
memset(c,0,sizeof(c));//初始化數組
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<p;j++)
for(int k=0;k<m;k++)//枚舉
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//乘上並加入c中
//最后c中存放的矩陣即為矩陣乘法的結果
拓展與應用
單位矩陣
單位矩陣在矩陣乘法中有重要作用,它相當於普通數字乘法中的 \(1\),任何矩陣左乘或者右乘單位矩陣都等於這個矩陣自身
單位矩陣是一個方陣(全稱方塊矩陣,指行數列數相等的矩陣),它的左上角到右下角對角線上的所有元素都為 \(1\),其他元素都是 \(0\),記作 \(I_n\) 或 \(E_n\),常用 \(I\) 或 \(E\) 表示
滿足性質:
矩陣快速冪
對於一個方陣來說,顯然它反復乘以自己得到的仍舊是相同大小的方陣,如果我們需要反復乘同一個方陣,單純 \(\Theta(n)\) 求就會導致效率極其低下,在以前相信大家都學過快速冪,由於矩陣乘法的運算律,我們仍然可以使用快速冪計算一個方陣的冪,思路與普通的快速冪極為類似,所以就不多解釋了,不了解快速冪可以自行查閱相關資料,
注意這里 \(ans\) 矩陣一開始應該初始化為單位矩陣
下面直接上代碼:
const int mod=1e9+7;
int n,p;
cin>>n>>p;
long long a[n][n],ans[n][n],tmp[n][n];
for(int i=0;i<n;i++)//初始化
{
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>a[i][j],ans[i][j]=tmp[i][j]=0;
ans[i][i]=1;
}
while(p)//快速冪
{
if(p&1)
{
for(int i=0;i<n;i++)//tmp=ans*a
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+ans[i][k]*a[k][j]%mod)%mod;
for(int i=0;i<n;i++)//ans=tmp
for(int j=0;j<n;j++)
ans[i][j]=tmp[i][j],tmp[i][j]=0;
}
for(int i=0;i<n;i++)//tmp=a*a
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%mod)%mod;
for(int i=0;i<n;i++)//a=tmp
for(int j=0;j<n;j++)
a[i][j]=tmp[i][j],tmp[i][j]=0;
p>>=1;
}
for(int i=0;i<n;i++)//輸出
{
for(int j=0;j<n;j++)
cout<<ans[i][j]<<' ';
putchar('\n');
}
這樣碼風有點丑,只是為了展示方便,沒有寫成結構體+函數的形式,自己做題時建議都寫成結構體形式,更方便調試
加速遞推
題意簡述:給定 \(n\),請你給出斐波那契數列第 \(n\) 項對 \(10^9+7\) 取模的結果,其中 \(1\le n<2^{63}\)
如果暴力解決這道題那么就是 \(\Theta(n)\) 遞推,但由於 \(n\) 過大,顯然會超時,利用矩陣就可以優化
我們設一個 \(1*2\) 的矩陣 \(A_i=\left(\begin{matrix}F_i & F_{i-1}\end{matrix}\right)\),其中 \(F_i\) 表示斐波那契數列的第 \(i\) 項,那么根據斐波那契數列的定義有 \(A_{i+1}=\left(\begin{matrix}F_i+F_{i-1} & F_{i}\end{matrix}\right)\),我們發現可以找到一個矩陣 \(B=\left(\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right)\) 使得 \(A_i B=A_{i+1}\) 即:
簡單手動計算一下就可以知道這個式子的正確性
所以斐波那契數列的 \(A_n(n\ge3)\) 就可以表示為 \(A_1 B^{n-2}\),根據矩陣乘法的運算律,我們利用矩陣快速冪把 \(B^{n-2}\) 算出來再用 \(A_1\) 乘,就能在 \(\Theta(\log n)\) (常數有點大,主要是矩陣乘法的 \(\Theta(2^3)\))的時間復雜度內解決這個問題
上面這種方法就是利用矩陣乘法加速遞推,類似的線性遞推題目可以嘗試使用矩陣乘法進行優化,上面題目中矩陣 \(A\) 就稱作狀態矩陣,矩陣 \(B\) 就稱作轉移矩陣,正確地定義狀態矩陣並計算出轉移矩陣就可以成功優化
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