將學習到什么
這一節介紹一類非常特殊且非常重要的矩陣，酉矩陣。並簡單介紹了一些性質。
入門知識
先給定義
可以看到，如果把矩陣定義域限定在實數域，酉矩陣就叫實正交矩陣啦。這只是“官方定義”，它還有很多等價說法，列出來
證明：(a)~(f) 都沒什么好說的，說一下最后一個 (g). 如果說 \(U\) 是酉矩陣，令 \(y=Ux\)，那么 \(y^*y=x^*U^*Ux=x^*Ix=x^*x\), 即 \(\lVert x \rVert_2=\lVert Ux\rVert_2\). 反過來，我們設 \(U^*U=A=[a_{ij}]\),取 \(x=z+w\)，其中 \(z,w \in \mathbb{C}^n\), 則 \(x^*x=z^*z+w^*w+2\mathrm{Re}\, z^*w\), 且 \(y^*y=x^*Ax=z^*Az+w^*Aw+ 2 \mathrm{Re}\,z^*Aw\). 由 \(\lVert x \rVert_2=\lVert Ux\rVert_2\) 可知 \(z^*z=z^*Az\) 以及 \(w^*w=w^*Aw\), 從而對任意的 \(z\) 與 \(w\) 有 \(\mathrm{Re}\,z^*w=\mathrm{Re}\,z^*Aw\). 取 \(z=e_p\) 以及 \(w=\mathrm{i} e_q\), 並計算 \(\mathrm{Re}\,\mathrm{i}e_p^Te_q=0=\mathrm{Re}\, \mathrm{i}e_p^TAe_q=\mathrm{Re}\,\mathrm{i}a_{pq}=-\mathrm{im}\,a_{pq}\), 即虛部全為零，則 \(A\) 的每個元素都是實的。再取 \(z=e_p\) 以及 \(w=e_q\), 計算 \(e_p^Te_q=\mathrm{Re}\,e_p^Te_q=\mathrm{Re}\,e_p^TAe_q=a_{pq}\), 這告訴我們有 \(A=I\), 則證明了 \(U\) 是酉矩陣。
上個定理中的 (g) 中的條件有個定義
那么就是說，復方陣 \(U\in M_n\) 是 Euclid 等距的，當且僅當它是酉矩陣。下面給出一個簡單結論
證明：\((UV)^*(UV)=V^*U^*UV=V^*V=I\), 所以 \(UV\) 是酉矩陣。
可見酉矩陣相乘還是酉矩陣。其實酉矩陣的集合構成一個群。這個群稱為 \(n\times n\) 酉群，對應實數域中的實正交群。群是對單獨一個滿足結合律的二元運算封閉的集合，且在此集合中含有該運算的恆等元以及逆元，對酉矩陣來說，其相乘仍是酉矩陣，所以對乘法運算封閉，乘法顯然是可結合的，酉群的恆等元是 \(I\), 其逆元仍是酉矩陣，即 \(U^{-1}=U^*\).
深入一點
酉矩陣 \(U\in M_n\) 的每一列或者每一行的 Euclid 范數都是 1，因而 \(U=[u_{ij}]\) 中沒有任何元素有絕對值大於 1. 如果我們把酉群看作是 \(\mathbb{C}^{n^2}\) 的一個子集，這就是說是它的一個子集；如果 \(U_k=[u_{ij}^{(k)}]\) 是酉矩陣組成的一個無限序列（\(k=1,2,\cdots\)）, 使得對所有 \(i,j=1,2,\cdots,n\) 都有 \(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}u_{ij}^k=u_{ij}\), 那么由恆等式 \(U_k^*U_k=I, k=1,2,\cdots\) ，我們就看出 \(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}U_k^*U_k=U^*U=I\), 其中 \(U=[u_{ij}]\). 於是，極限矩陣 \(U\) 也是酉矩陣. 也就是說，酉矩陣的集合是 \(\mathbb{C}^{n^2}\) 的封閉子集. 學過泛函的都知道有限維的有界閉集是一個緊集，所以我們可以說\(M_n\) 中酉群是緊的. 由這個結論可推出關於酉矩陣的選擇原理.
證明：緊集中必存在收斂的無限子序列於自身的某個元素。
上面引理告訴我們如果酉矩陣的序列收斂於某個矩陣，那么極限矩陣必定是酉矩陣。但是要注意引理確保存在的酉極限未必是唯一的，它有可能與子序列的選擇有關。比如酉矩陣序列 \(U_k=\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^k \,\,(k=1,2,\cdots)\) 其奇數序列收斂於酉矩陣 \(\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}\), 偶數序列收斂於酉矩陣 \(\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\).
對於酉矩陣 \(U\)，\(U^{-1}=U^*\). 推廣酉矩陣的一種方式是要求 \(U^{-1}\) 與 \(U^*\) 相似。這樣的矩陣組成的集合容易刻畫成映射 \(A\rightarrow A^{-1}A^*\) 的值域（對所有非奇異的 \(A\in M_n\)）.
證明： 如果對某個非奇異的 \(B\in M_n\) 有 \(A=B^{-1}B^*\), 那么 \(A^{-1}=(B^*)^{-1}B\), 且 \(B^*A^{-1}(B^*)^{-1}=B(B^*)^{-1}=(B^{-1}B^*)^*=A^*\). 反過來，如果 \(A^{-1}\) 與 \(A^*\) 相似，那么就存在一個非奇異的 $S\in M_n $, 使得 \(SA^{-1}S^{-1}=A^*\), 從而 \(S=A^*SA\). 令 \(S_{\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}S,\,\, \theta \in \mathbb{R}\), 則 \(S_{\theta}^*=A^*S_{\theta}^*A\). 將這兩個恆等式相加給出 \(H_{\theta}=A^*H_{\theta}A\), 其中 \(H_{\theta}=S_{\theta}+S_{\theta}^*\) 是 Hermite 的. 如果 \(H_{\theta}\) 是奇異的，那么就存在一個非零的 \(x\in \mathbb{C}^n\), 使得 \(0=H_{\theta}x=S_{\theta}x+S_{\theta}^*x\), 所以 \(-x=S_{\theta}^{-1}S_{\theta}^*x=\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}S^{-1}S^*x\), 且 \(S^{-1}S^*x=-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}x\), 選取一個值 \(\theta=\theta_0\in [0,2\pi)\), 使得 \(-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta_0}\) 不是 \(S^{-1}S^*\) 的特征值；所產生的 Hermite 矩陣 \(H=H_{\theta_0}\) 就是非奇異的，且有性質 \(H=A^*HA\). 現在選取任意一個復的 \(\alpha\), 使得 $\vert \alpha \rvert=1 $, 且 \(\alpha\) 不是 \(A^*\) 的特征值. 令 \(B=\beta(\alpha I-A^*)H\), 其中復參數 \(\beta \neq 0\) 有待選取，注意 \(B\) 是非奇異的，我們希望有 \(A=B^{-1}B^*\), 即 \(BA=B^*\). 計算 \(B^*=H(\bar{\beta}\bar{\alpha}I-\bar{\beta}A)\) 以及 \(BA=\beta(\alpha I-A^*)HA=\beta(\alpha HA-A^*HA)\beta(\alpha HA-H)=H(\alpha \beta A-\beta I)\). 如果我們能選取一個非零的 \(\beta\), 使得 \(\beta=-\bar{\beta}\bar{\alpha}\), 我們就完成了，但是如果 \(\alpha=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}\), 那么就有 \(\beta=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\psi)/2}\), 證明完成。
如果酉矩陣作為 \(2\times 2\) 分塊矩陣出現，那么它落在對角線之外的那些塊的秩相等，它的對角線塊的秩通過一個簡單的公式相聯系。
證明： 對於酉矩陣 \(U\)，有 \(U^{-1}=\begin{bmatrix} U_{11}^* &U_{21}^* \\ U_{12}^* &U_{22}^* \end{bmatrix}\). 由零性互補法則 可得，\(\mathrm{rank}\,U_{12}=\mathrm{rank}\,U_{21}^*=\mathrm{rank}\,U_{21}\), \(\mathrm{rank}\,U_{11}=\mathrm{rank}\,U_{22}^*+2k-n=\mathrm{rank}\,U_{22}+2k-n\), 即可得。\(\mathrm{rank}\,U_{12}=\mathrm{rank}\,U_{21}^*=\mathrm{rank}\,U_{21}=\), 故 \(U_{12}=0\) 當且僅當 \(U_{21}=0\). 按塊矩陣的乘法可知此時 \(U_{11}\) 與 \(U_{22}\) 為 酉矩陣.
由以上引理知，如果一個酉矩陣是上三角或者是下三角陣，則它必是對角陣。
應該知道點什么
- 復方陣 \(U\in M_n\) 是 Euclid 等距的，當且僅當它是酉矩陣
- 其實酉矩陣的集合構成一個群，且是緊的
- 上個引理中塊酉矩陣中秩的關系
- 一個酉矩陣是上三角或者是下三角陣，則它必是對角陣