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一個行向量乘以一個列向量稱作向量的內積，又叫作點積，結果是一個數；
一個列向量乘以一個行向量稱作向量的外積，外積是一種特殊的克羅內克積，結果是一個矩陣，
假設
和b分別是一個行向量和一個列向量，那么內積、外積分別記作
和
，,為了討論方便，假設每個向量的長度為2。
注意：外積在不同的地方定義方式不太一樣，這里不詳細討論
定義了內積和外積以后，我們討論矩陣的乘法。矩陣是由向量組成的，因此對矩陣不同角度的抽象，將矩陣乘法轉換為向量乘法，可以使我們從不同的角度去理解矩陣的乘法。首先我們可以對於一個矩陣A（假設行和列的大小都是2），我們可以即可以把它看作由兩個行向量組成的列向量，
，又可以看作是由兩個列向量組成的行量
,我們
表示列向量，
表示行向量
這樣矩陣A和矩陣B的乘積按照不同的角度就可以組成四種理解方式。
一、 A是由行向量組成的列向量，B是由列向量組成的行向量
此時AB乘積變為了兩個新的向量的外積形式，按照外積定義，我們有
注意到這里面每一個
都是一個向量，因此
就是一個內積,計算結果就是AB矩陣第i行第j列中的元素。因此，我們可以看到，矩陣乘積是兩個向量的外積，並且外積矩陣中的每一個元素是一個內積。這種方式是最直接的理解方式。
二、 A是由列向量組成的行向量，B也是由列向量組成的行向量
令C = AB， 我們考慮C的每一個列向量:
同理：
因此，矩陣C的每一個列向量，是A的列向量的一個線性組合，該線性組合中的系數是
的各個元素。從這個角度說C的每一列都存在於A的列向量空間內。
三、 A是由行向量組成的列向量，B也是由行向量組成的列向量
類似於上面的情況，不過我們現在考慮C的每一個行向量:
同理：
因此，矩陣C的每一個行向量，是B的行向量的一個線性組合，該線性組合中的系數是的各個元素。從這個角度說C的每一個行向量都存在於B的行向量空間內。
四、 A是由列向量組成的行向量，B也是由行向量組成的列向量
此時AB乘積變為了兩個新的向量的內積形式。按照內積定義我們有：
注意到
是一個外積形式，因為是一個列向量，
是一個行向量，因此C是由各個外積矩陣相加得到的。
根據以上分析，我們可以將第一種和第四種方式放到一起，第二種和第三種放到一起分別進行理解。第一種方式先將A抽象為列向量，將B抽象為行向量，從而將矩陣乘法變為了一種外積的形式，而外積矩陣中的每一個元素是一個行向量和一個列向量的內積。這種方式每次得到C的一個元素
。
第四種理解方式先將A抽象為行向量，將B抽象為列向量，從而將矩陣乘法變為了一種內積形式，內積的各個組成部分
又是一個外積。這種方式每次不是得到C的一個元素，而是將C看作是多個矩陣相加組成的，每次計算得到一個加數矩陣。
第二種方式將矩陣A、B都抽象為行向量，行向量的每個組成是一個列向量，A乘以B的每一個列向量得到一個新的列向量，並且該列向量存在於A的列向量空間內，A乘以B相當於是對A進行了列變換。第三種方式則將A乘以B看作是對B進行了行變換。
如果想對一個矩陣進行行變換，可以左乘一個矩陣；相應的如果想對矩陣進行列變換，可以右乘一個矩陣。這種思想被應用到高斯消元的過程中。
最后我們總結一下矩陣C(C=AB)到底是什么，C是一個矩陣，是一個多面孔的矩陣。它既是列向量組成的行向量，每個列向量是A的列空間的線性組合，又是行向量組成的列向量，每個行向量是B的行空間的線性組合；它是一個內積，內積的每個成分是一個外積，同時它又是一個外積，外積矩陣的每一個元素是一個內積。
向量是由n個實數組成的一個n行1列（n*1）或一個1行n列（1*n）的有序數組；
向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之后求和的操作，點乘的結果是一個標量。
點乘公式
對於向量a和向量b：
a和b的點積公式為：
要求一維向量a和向量b的行列數相同。
點乘幾何意義
點乘的幾何意義是可以用來表征或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
推導過程如下，首先看一下向量組成：
定義向量：
根據三角形余弦定理有：
根據關系c=a-b（a、b、c均為向量）有：
即：
向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：
根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關系，具體對應關系為：
a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
叉乘公式
兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的坐標平面垂直。
對於向量a和向量b：
a和b的叉乘公式為：
其中：
根據i、j、k間關系，有：
叉乘幾何意義
在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是一個向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。
在3D圖像學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z坐標系。如下圖所示：
在二維空間中，叉乘還有另外一個幾何意義就是：aXb等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。