矩陣論練習15（度量矩陣與Schmidt正交化）

度量矩陣

設 \(e_1,\cdots,e_n\) 是 \(V\) 的基，\(\alpha,\beta\in V\)的坐標是

\[X=[x_1,\cdots,x_n]^T,Y=[y_1,\cdots,y_n]^T \]

則

\[<\alpha,\beta>=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y}_j<e_i,e_j> =X^TA\overline{Y} \]

其中 \(A=(<e_i,e_j>)_{n\times n}\)，稱 \(A\) 是 \(V\) 在基 \(e_1,\cdots,e_n\) 下的度量矩陣。

設 \(e_1,\cdots,e_n\) 是 \(V\) 的標准正交基，則 \(A=I\) 是單位矩陣，此時 \(<\alpha,\beta>_V = X^T \overline{Y}=Y^H X = <X,Y>_{C^n}\).
也就是說，在標准正交基下，空間 \(V\) 中的兩個向量的內積等於它們坐標的內積。

題目

假設 \(V\) 在基 \(e_1,e_2\) 下的度量矩陣是 \(A=[1,2;2,5]\), 求 \(V\) 的一組標准正交基。

解答

1. 正交化：
   度量矩陣包含了各個基的內積信息。令 \(\beta_1=e_1\)，則
   \(\beta_2 = e_2 -\frac{<e_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 =e_2 - 2e_1\)

2. 標准化：
   \(<\beta_1,\beta_1>=<e_1,e_1>=1\)。\(\beta_2\) 的在基 \(e_1,e_2\) 下的坐標為 \([-2,1]^T\)，則 \(<\beta_2,\beta_2>=[-2,1]A[-2,1]^T=1\)，
   因此
   \(\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|} = \beta_1=e_1\)
   \(\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|} = \beta_2=e_2-2e_1\)
   即是 \(V\) 的一組標准正交基。