矩陣論練習2（共軛轉置的秩和解空間）

題目

設 \(A\) 是 \(s\times n\) 矩陣，\(b\) 是 \(s\) 維列向量。證明：

1. \(Rank(A) = Rank(A^HA)\)
2. 線性方程組 \(A^HAx = A^Hb\) 恆有解
   其中 \(A^H\) 為 \(A\) 的共軛轉置矩陣

證明

1. 證明 \(Ax= 0\) 和 \(A^HA x=0\) 同解即可。因為對於 \(Ax=0, A\in R^(s\times n)\)，如果矩陣\(A\)秩為 \(r\)，則基礎解系的向量個數為 \(n-r\)。反之，如果基礎解系的向量個數相同，則 \(Rank(A)\) 相同。上面兩個等式的解系分別記為 \(S_0, S_1\)。

(1) 證 \(x \in S_0 \rightarrow x\in S_1\)

\[\because x \in S_0, it's Ax = 0, \therefore A^HAx = A^H(Ax) = 0 \]

(2) 證 \(x \in S_1 \rightarrow x \in S_0\)

\[ \because x \in S_1, \ it's\ A^H Ax = 0, \\ \therefore x^H (A^H A x) = 0 \\ x^H(A^H A x) = (Ax)^H (Ax) = 0 \\ \therefore Ax = 0 \]

2. 證明 \(Rank(A^H A) = Rank(A^H A, A^H b)\) 即可。通過證明 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\) 和 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\) 證明。

(1) 證 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\)
因為不等式右面是左面的增廣矩陣，所以上面不等式成立。

(2) 證 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\)

\[Rank(A^H A) = Rank(A)\\ Rank(A^H A, A^H b) = Rank(A^H( A, b)) \le Rank(A^H) = Rank(A) \\ \]

證畢。