核、值域、向量空間、行空間、零空間

1、核

所有經過變換矩陣后變成了零向量的向量組成的集合，通常用Ker(A)來表示。

假設你是一個向量，有一個矩陣要來變換你，如果你不幸落入了這個矩陣的核里面，那么很遺憾轉換后你就變成了虛無的零。特別指出的是，核實“變換”（Transform）中的概念，矩陣變換中有一個相似的概念叫“零空間”。有的材料在談到變換的時候使用T來表示，聯系到矩陣時才用A，本文把矩陣直接看作“變換”。核所在的空間定義為V空間，也就是全部向量原來的空間。

2、值域

某個空間中所有向量經過變換矩陣后形成的向量的集合，通常用R（A）來表示。

假設你是一個向量，有一個矩陣要來變換你，這個矩陣的值域表示了你將來所有可能的位置。值域的維度也叫做秩（Rank）。值域所在的空間定義為W空間。

3、空間

向量與建立在其上的加、乘運算構成了空間。向量可以（也只能在）空間中變換。使用坐標系（基）在空間中描述向量。

不管是核還是值域，它們都是封閉的。意思是說，如果你和你的朋友困在核里面，你們不管是相加還是相乘都還會在核里面，跑不出去，這就構成了一個子空間。值域同理。

數學家證明了，V（核所在的空間定義為V空間）的維度一定等於它的任意一個變換矩陣的核的維度加上值域的維度。

嚴格的證明可以參考相關資料，這里說一個直觀的證明方法：

V的維度也就是V的基的數目。這些基分為兩部分，一部分在核中，一部分是值域中非零象的原象（肯定可以分，因為核和值域都是獨立的子空間）。如果把V中的任意向量用基的形式寫出來，那么這個向量必然也是一部分在核中，另一部分在值域中非零象的原象里。現在對這個向量作變換，核的那部分當然為零了，另一部分的維度剛好等於值域的維度。

 

四、變換矩陣行空間和零空間的關系

根據矩陣的性質，變換矩陣的行數等於V的維度，變換矩陣的秩等於值域R的維度，所以可以得出：

因為A的秩又是A行空間的維度（注意在非滿矩陣中這個數肯定小於行數），所以上述公式可以變為：

之所以寫成這個形式，是因為我們可以發現A的零空間和A的行空間是正交互補的。正交是因為零空間就是核，按定義乘以A的行向量當然為零。互補是因為它們加起來剛好張成整個V空間。

這個正交互補導致了非常好的性質，因為A的零空間和A的行空間的基組合起來剛好可以湊成V的基。

 

五、變換矩陣列空間和左零空間的關系

如果把以上方程取轉置，則可以得到：

因為的實際意義是把值域和定義域顛倒過來了，所以的零空間就是值域以外的區域投向V中零點的所有向量的空間，有人將其稱為“左零空間”（Left Null Space）。這樣就可以得到：

同樣，A的左零空間與A的列空間也正交互補，它們加起來剛好可以張成W空間，它們的基也構成了W的基。

 

六、變換矩陣行空間和列空間的關系

變換矩陣實際上就是把目標向量從行空間轉換到列空間。

矩陣的行空間、列空間、零空間、左零空間構成了我們在線性代數研究中的所有空間，把它們的關系弄清楚，對於分別的基轉換非常重要。

 

七、特征方程的秘密

我們試圖構造一個這樣的變換矩陣A：它把向量變換到一個值域空間，這個值域空間的基是正交的；不僅如此，還要求任對於意一個基v都有  的形式， 是原來空間的一個已知基。這樣我們就能把復雜的向量問題轉換到一個異常簡單的空間中去。

如果 的數量不等於v，那么用取代A，可以變為一個對稱且半正定矩陣，它的特征向量正是要求的基v！

再次說明，矩陣不等於變換，把矩陣看成變換只是提供一個理解變換矩陣的方法。或者，我們可以認為，矩陣只是變換的一種變現形式。

轉自：特征值和特征向量的幾何和物理意義