行空間、列空間
行空間、列空間 如果 $A$ 為一 $m \times n$ 矩陣，由 $A$ 的行向量張成的 $R^{1 \times n}$ 的子空間稱為 $A$ 的行空間(row space)。由 $A$ 的各列張成的 $\mathbf{R}^{\mathrm{m}}$ 的子空間稱為 $A$ 的列空間(column space)。
例 1 令
$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$A$ 的行空間是所有如下形式的3元組:
$\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)=(\alpha, \beta, 0)$
$A$ 的列空間是所有如下形式的向量:
$\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{l}0 \\1\end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\alpha \\\beta\end{array}\right]$
因此， $A$ 的行空間為一個 $R^{1 \times 3}$ 的二維子空間，且 $A$ 的列空間為 $R$
矩陣的零空間
考慮矩陣
$A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & -4 & 4 \\2 & -8 & 0 \\8 & 4 & -12\end{array}\right]$
要找到它的零空間，須找到所有向量 $v$ 使得 $A v=0$ 。首先把 $A$ 變換成簡約行梯陣形式,
$E=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 / 3 \\0 & 1 & -1 / 3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]$
有 $A V=0$ 當且僅當 $E V=0$ 。使用符號，后者方程變為
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -4 / 3 \\0 & 1 & -1 / 3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x-4 z / 3 \\y-z / 3 \\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\0 \\0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x=4 z / 3 \\y=z / 3 \\0=0\end{array}\right] ;\left[\begin{array}{c}x=4 s / 3 \\y=s / 3 \\z=s\end{array}\right]$
所以， $A$ 的零空間是一維空間，
$v=\left[\begin{array}{c}4 s / 3 \\s / 3 \\s\end{array}\right]$