零空間
先看定義。A是m×n矩陣，x是列向量，如果存在向量集合N，滿足：
則稱N是A的零空間。
零空間的意義
從定義看出，零空間是方程Ax = 0的所有解的集合：
A的零空間關心的是方程方程Ax = 0的解，准確地說是解所張成的空間，方程等於零向量也是零空間中“零”的含義。因為x∈Rn，零空間關心的又是x的解，所以x張成的空間也在Rn中，那么它是否是Rn的子空間呢？
首先，0向量是方程的一組解。再假設v1,v2也都是方程的解，現在來看加法封閉性：
v1,v2滿足加法封閉性。最后驗證數乘封閉性，C是任意常數：
v也滿足數乘封閉性，所以零空間也是Rn的子空間。既然零空間是子空間，子空間又必須包括零向量，當Ax = b，b≠0時，由於沒有全零解，A一定沒有零空間。
找出零空間
我們已經知道了零空間的意義，如何找出零空間呢？
先看一個例子：
示例比較簡單，除了全零解之外，方程組還有多組解，具體來說，如果C是任意常量，則：
在R3空間中，N(A)是過原點的直線。
再來個稍微復雜點的例子：
只需求解方程組就可以了，方法之一是將A化為行最簡階梯矩陣：
為了求解方便，我們的目標是讓方程組的未知數盡量少，所以還可以進一步化簡，讓台角上方全為0：
將行最簡階梯矩陣轉換為方程組：
兩個方程，四個未知數，方程組有無數解，A的零空間是整個R4還是R4的其它子空間呢？回答這個問題前，還需要對方程組進一步轉化：
x3，x4可以是任意實數，a，b是線性無關的，所以A的零空間就是a和b張成的空間：
具體來說，A的零空間是R4空間內過原點的一個平面，當然也是R4的子空間。
零空間與線性無關
再來關注一下Ax = 0中A的性質，Am×n由n個列向量組成：
如果A是線性無關的，意味着方程組只有一個全零解，或者說，這個方程的解集是A的零空間，並且這個零空間只包含零向量。此時，A應當可以化簡成單位矩陣：
結論是，當A是滿秩方陣或列滿秩的長方矩陣時，A的零空間只有零向量（僅僅是行滿秩時就不一定了）。
列空間
如果A是m×n矩陣，那么A的列空間是A中所有列向量張成的空間。A的列空間用C(A)表示：
C(A)顯然是Rm的子空間。
列空間的意義
先召喚一個矩陣：
三個向量不能構成整個R4空間，它只能構成R4的子空間。那么列空間的意義何在呢？ 還是要結合方程來看，零空間關心的是Ax = 0的解；列空間關心的是，在Ax = b中，什么樣的b才能讓方程有解。對於任意的b，方程並不總是有解，比如下面這個：
四個方程，三個未知數，方程組可能無解。從向量空間上看，三個向量無法充滿整個四維空間，所以肯定有很多b不是這三個向量的線性組合。同時，這個方程組也可能是有解的，什么樣的b才能使方程組有解呢？一個簡單的辦法是先寫出x，然后根據b = Ax反推出b：
可以看到，b是A的線性組合，所以b一定在A的列空間內，此時Ax = b有解；反之，如果b不在A的列空間中，意味着Ax = b無解，這就是列空間意義了。
在上面例子中，A的第三個列向量可以由前兩個的線性組合表示，因此A的列空間是R4的二維子空間：
列空間的基
我們已經理解了列空間，怎樣計算列空間的基呢？先來看個例子：
A的列空間可以直接寫成：
這樣寫似乎沒錯，但是A的四個列向量是否是線性組合呢？肯定不是，因為C(A)至多能張成R3空間，只需要三個向量就夠了，所以A的四個向量中至少有一個是多余的，這就需要去掉多余的向量，求得列空間的基，這需要運用零空間的知識進行一些計算。首先將A轉換為行最簡階梯矩陣，在此基礎上讓台角上方全為0：
A最終化簡為行最簡階梯矩陣，階梯的台角代表主元：
這樣看來主元的個數等於矩陣的秩。在R中，1、2兩列是主元所在的列，它們是線性孤立的，其它列都可以用它們的線性組合表示，這也意味着1、2列的前身——A的1、2兩列是線性孤立的。因此，只要確定了主元，就可以將列空間的基用主元所在的列數表示，本例中：
示例
示例1
看看哪些是R3的子空間？
首先回顧一下子空間，子空間包括零向量，子空間內所有向量的線性組合依然在子空間內。
1.這里描繪了向量分量間的關系是線性的，可以將其轉換為方程：
<a1,a2,a3>是<1,1,-1>的零空間，零空間是R3的子空間。
2.三個分量不是線性關系了，這意味着八成不是子空間，可以隨意列舉幾個向量。當a1 =1,a2 =1時，a3 = a1 a2 = 1，<a1,a2,a3> = <1, 1, 1>，由於子空間對數乘封閉，所以<2, 2, 2>也應該在子空間內，但此時 a3 ≠ a1a2，所以問題2的條件不能構成子空間。
3.先將表達式化簡：
<a1,a2,a3>是<1, 0, -1>和<1, 0, 1>的線性組合，是子空間。
4. 還是先將表達式化簡：
注意到第二個分量是1，是定值，無法構成零向量，問題4的條件不能構成子空間。
示例2
找出Ax=b的列空間。
首先化簡為最簡行階梯矩陣：
主元是1、2、4列，列空間是主元所在的列：
作者：我是8位的
