前面已經介紹了矩陣的零空間和列空間，它們都屬於矩陣的四個基本子空間，基本子空間還包括行空間和左零空間。
召喚一個矩陣：
為了找出零空間和列空間，先進行套路運算——轉換為行最簡階梯矩陣：
只有一個主元，也就是僅有一個向量都是獨立向量，列空間是：
這同時也意味着矩陣A的秩是1。矩陣的秩、列空間的基的向量數、獨立向量數、主元數，這些都是一個意思，只是用於不同場景中，這些概念往往容易讓人混淆。實際上直到今天，我仍然會對一些概念產生一瞬間或幾分鍾的困惑，不得不重新翻閱資料。
再來看零空間，主元可以用另外兩個自由元表示，這里用x2和x3表示x1：
A的零空間：
左零空間
零空間關注的是Ax = 0的解，除此之外，我們還想關注轉置后的A形成的方程的性質，也就是ATx = 0的解。還是剛才的矩陣，看看A轉置后的零空間：
套路運算，行最簡階梯型矩陣：
第二列可以用第一列表示，第二列是第一列的線性組合，只有一個獨立向量，只有一個主元，秩是1……一大堆相似概念，最終可以得到這樣的方程：
AT的零空間：
獨立地看，AT的零空間是ATx = O的解，這又有什么用呢？它與Ax = O有什么關系？
如果把等式兩邊同時轉置，右側依然是趴下的零向量，左側：
這下清晰了，A的零空間是將A右乘x；如果左乘x就是AT的零空間：
由於x在A的左側，所以AT的零空間也叫A的左零空間。
行空間
A的行空間也就是AT的列空間，A的秩是在回答A中有多少列是線性無關的，AT是在回答A中有多少行是線性無關的。有趣的是，A的秩和AT的秩相等。理解這里一點很有用，尤其是在確定列空間的基時，輔助行空間可以幫助我們避免一些陷阱，比如下面這個矩陣：
三列是否是線性無關的？如果最有一個列向量是<3, 3, 7>，那么很明顯第三個向量可以由前兩個向量代替，現在第三個向量稍稍偏移了一點，所以三個向量應該是線性無關的。真是這樣嗎？
實際上我們不必去計算，A的列向量之間的關系沒那么明顯，但是行向量則不然——前兩個行向量相同，A中只有兩個線性無關的行向量，也就是A的秩是2，所以A的列向量也不是獨立向量。
空間和維數
前面已經多次出現過維度的概念，如果有一個Am×n矩陣，它的四個基本子空間的維數各是多少呢？
只要清楚四個基本子空間的概念，這個問題就比較容易回答。列空間的一組基一定包含A的一個列向量，這個列向量是m維的，所以列空間一定在Rm中；同理，行空間在Rn中。具體來說，由於秩是r，所以列空間是Rm中的r維子空間，行空間是Rn中的r維子空間。
零空間是Ax = 0中x的解，x是n維向量，所以零空間在Rn中；同理，左零空間在Rm中。零空間的維數是由自由元決定的，自由元等於矩陣列數減去主元個數，也就是n – r，所以零空間是n維空間內的n – r維子空間。左零空間是m維空間內的m – r維子空間。
總結一下：
列空間，位於Rm下的r維空間
行空間，位於Rn下的r維空間
零空間，位於Rn下的 n – r維空間
左零空間，位於Rm下的 m – r維子空間
行空間的基
可以先對矩陣轉置，在通過列空間的方式尋找行空間的基。這樣做沒錯，但多少有些無聊，我們更希望一次就能同時找到列空間和行空間的基。看個例子：
A的列空間和行空間都比較容易確定，甚至不需要化簡：
雖然列空間和行空間的獨立向量個數相等，但列空間和行空間可不行等，所以還是需要某種通用的方法。仍然是先將A化簡為行最簡階梯形矩陣：
R是A的行最簡階梯矩陣，通過R可以確認A的秩r = 2。下面是關鍵：對於A來說，行空間的基是R的前r行，即：
之所以能夠得到這樣的結論，是因為從A到R的變換本來就是通過行的線性變換得到的，變換到最后，R中只留下了線性無關的行向量。這實際是在說，R是最簡行階梯矩陣，R中的每一級階梯都是線性無關的。
左零空間的基
召喚一個矩陣：
直接的方法是使用左零空間的定義，將A轉置，然后求解AT的零空間：
這和求解零空間一樣，化簡為行最簡階梯形矩陣：
這就是A的左零空間。這樣計算簡單粗暴。
另外一種方法是使用高斯-諾當消元法，通過記錄行變換的方式找到左零空間。這種方法的大概思路是和求逆矩陣類似，其過程是使[Am×n Im×m]→[Rm×n Em×m]，如果A是方陣，R是單位矩陣，則轉化過程和求逆一致。
E實際上是記錄了從A到R的初等行變換，EA = R。如果用《線性代數9——消元矩陣與置換矩陣》中的方法寫出來，其過程如下：
最終的消元矩陣：
費了很大勁求出E，目的是為了得到A的左零空間，R的最后一行是OT，也就是說E的最后一行與A的乘積是OT：
這相當於：
現在可以確定，A的左零空間是：
這個方法的思路是尋找一個零行向量OT的行組合。
作者：我是8位的
