轉置、置換、向量空間
置換矩陣（Permutation Matrix）
置換矩陣(Permutation Matrix)，\(n\)階方陣的置換矩陣有\(\binom{n}{1}=n!\)個，3階方陣的置換矩陣有6個：
為了交換兩行，我們在左邊乘以一個置換矩陣。
例如右乘 $$P_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}$$以交換3 × 3矩陣的第一和第二行。
矩陣 \(A\) 左乘一個置換矩陣\(P\)交換矩陣的行，右乘則交換矩陣的列。
置換矩陣有一個比較重要的性質是：任何置換矩陣的逆等於它的轉置，即\(P^{-1} = P^T\)。
對置換矩陣\(P\)，有\(P^TP = I\)。
LU分解的補充：若\(P\)為置換矩陣，對任意可逆矩陣\(A\)有：\(PA=LU\)
轉置矩陣（Transpose Matrix）
轉置：\((A^T)_{ij} = (A)_{ji}\)
例子：（轉置就好像是讓矩陣站了起來）
\(\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}1&3\\0&1\\0&0\end{bmatrix}\)
一些性質：
-
\((A^T)^T = A\)
-
\((AB)^T=B^TA^T\)
對稱矩陣（Symmetric Matrix）
滿足\(A^T=A\) 的矩陣為對稱矩陣。
對任意矩陣\(R\)，都有\(R^TR\)為對稱矩陣。
推導過程：
A matrix \(A\) is symmetric if \(AT=A\). Given any matrix \(R\) (not necessarily square) the product \(R^TR\) is always symmetric, because \((R^TR)T=R^T(R^T)^T=R^TR\).
向量空間（Vector Space）
向量的線性組合張成(span)向量空間（即將向量相加或者進行數乘）。
We can add vectors and multiply them by numbers, which means we can dis cuss linear combinations of vectors. These combinations follow the rules of a vector space.
一個具體的實例就是\(\mathbb{R}^2\) ，他就是全部的x-y平面，二維空間。
Another example of a space is \(\mathbb{R}^n\), the set of (column) vectors with n real number components
封閉性（Closure）
向量空間中任意向量的數乘、求和運算得到的向量也在該空間中。即向量空間要滿足加法封閉和數乘封閉。
舉例：第一象限不是向量空間，\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)數乘-2得到\(\begin{bmatrix}-2\\-2\end{bmatrix}\)，不屬於第一象限。
子空間（Subspaces）
如果一個向量空間存在於另一個向量空間內，就稱為為一個子空間。
舉例：如果 \(v\;in\;\mathbb{R}^2\) ，對於任意 \(\textrm{c}v\) (c是任意實數)都是\(\mathbb{R}^2\)的一個子空間\((\textrm{c}v\) 是一條過零點的直線，\(\mathbb{R}^2\)是xy平面)。需要注意的是：任何子空間都要包含0向量，否則如果乘以系數為0的話就不滿足子空間的定義了
Every subspace must contain the zero vector because vector spaces are closed under multiplication.
\(\mathbb{R}^2\)的典型子空間：
- \(\mathbb{R}^2\)（自己）
- 任何通過點\(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)的直線
- 0向量
\(\mathbb{R}^3\)的典型子空間：
- \(\mathbb{R}^3\)（自己）
- 任何穿過原點的面
- 任何穿過原點的線
- 0向量
綜上，向量空間的重點為：
- 所有向量空間都必須包含原點（Origin）；
- 向量空間要滿足加法封閉和數乘封閉。
reference
[1] textbook
[2] mit18.06學習筆記