線性代數導論 - #5 矩陣變換之置換與轉置
在之前的基礎課程中，我們以用於解線性方程組的Gauss消元法為主線，介紹了矩陣語言這一表示法如Ax=b，介紹了一些特殊的矩陣如單位矩陣I、初等矩陣E、上三角矩陣U、下三角矩陣L，學習了矩陣乘法這一矩陣的基本運算，學習了矩陣變換中的逆變換，並運用它們進行了矩陣的LU分解。在真正進入線性代數的大門之前，我們還需要配齊兩種實現矩陣變換的工具，就是之前已經提及的置換與轉置。
首先是置換。
置換操作，也即行交換，通過左乘置換矩陣P來實現，可以應對解Ax=b過程中主元位為0的情況。
在形式上，P一定是方陣。
在內容上，P為單位矩陣I進行置換后的結果。實際上，I就是一種最基本的置換矩陣（雖然沒有實際作用）。
由於行交換的次數不定，交換的對象也不定，對於一個較大的矩陣A，顯然有很多可能的置換矩陣。結論是，n階置換矩陣的總數為n!。
本着一種對“性質優良的特殊矩陣”（Prof. Strang語）的熱忱，我們來探究一下置換矩陣P的性質。
出於與I的親緣關系，在實踐中發現P有如下性質：
1.置換矩陣皆可逆；
2.置換矩陣的逆矩陣與轉置矩陣相同：
置換矩陣可以通過左乘其轉置矩陣變回I，即PTP=I；
3.置換矩陣取逆/轉置的結果還是同階的置換矩陣，同階的置換矩陣相乘的結果還是同階的置換矩陣；
其次是轉置。
轉置操作，也即對m*n矩陣A進行行列互換，其結果是產生一個n*m轉置矩陣AT，有兩種基本的實現方案：
1.元素交換：(AT)mn=(A)nm;
2.行列交換：AT中第k行為A中第k列。
處於與剛才相同的熱忱，我們研究一種AT=A的矩陣，即對稱矩陣。
根據轉置中的具體操作，顯然A為方陣，且關於左上-右下對角線對稱的元素相等。
換一個角度，我們也可以把轉置當成檢驗方陣對稱性的一種方法。
這種特殊的矩陣比較常見，比如任意矩陣R右乘其轉置矩陣RT得到A的就是對稱矩陣。
要想證明A是對稱矩陣，我們可以沿用剛才的思路，轉置A，檢驗AT=A是否成立。
AT=(RTR)T=RTRTT=RTR=A，其中對矩陣乘積進行轉置的運算法則類似於對矩陣乘積求逆的運算法則（先逆序再分別求逆）。
在下一課#6中，我們將真正進入線性代數的大門，從向量空間開始。