关于线性空间也叫向量空间的理解
首先,客观上,从本质上来讲线性空间就是用来研究某一类事物在矩阵代数里的抽象的表示,线性空间也就是以向量为元素的集合,所以线性空间首先满足集合的概念和基本运算.
在集合基本运算中重点提一下笛卡尔积(叉乘),定义上讲X和Y的笛卡尔积就是两个集合中所有元素的有序对(x,y),平面就是两个直线的卡式积.通过笛卡尔积可以从映射的角度定义一下集合的加、减和数乘,例如:
给定非空集合V和数域F,若映射σ:V×V→V,即 (V1,V2)|→σ(V1,V2)则称σ为V上的加法,也就是从V和自己的卡式积中取出来的有序对经过映射σ后的出的元素还在V里面
若映射σ:V×F→V,即(V1,F1)|→σ(V)则称σ为V上的乘法,也就是从V和数域F的卡式积中的有序对经过映射σ后的出的元素在V里面.绕这么多的弯就是想要在这门学科中把加减乘除理解成为一个映射.
上面又引入了一个“域”的概念,域就是在集合的基础上要做到对加减乘除的封闭,例如自然数集N不是一个域因为他不对减法和除法封闭(1-2和3/2都不是自然数),有理数集R就是一个域对加减乘除都封闭.
所以,线性空间不仅要是向量的集合还要满足两个封闭性,还要满足加法和乘法的八条公理.
加法公理:交换律、结合律、有零元、有负元.
标量乘法公理:交换律、左分配律、右分配律、有1元.(其中,左分配律是指:对于标量a,向量x,yŒV,(x+y)a=xa+ya)