以下內容來自上學期我的高等代數學習心得
下面簡單整理有關線性空間同構的性質與其相關結論和定理.下面的兩個定理是討論各種問題的基礎(注意均未要求維數有限)
定理1(同構的萬有性質)
設$V_1$和$V_2$同構，$\varphi$是同構映射，則對於任意向量空間$W$，對任意$\sigma \in L(V_1,W)$,存在唯一的$\sigma' \in L(V_2,W)$,使得$\sigma = \sigma' \circ \varphi$
定理2(商空間的萬有性質)
設$S \subset V$是向量空間$V$的子空間,$\pi_S$是$V \to V/S$的自然同態.對於向量空間$W$,若$\tau \in L(V,W)$滿足$S \subset \ker(\tau)$,則存在唯一的$\tau' \in L(V/S,W)$，使得$\tau = \pi_S \circ \tau'$
下面的對應原理也相當重要
定理3(對應原理)
設$S \subset V$是向量空間$V$的子空間,則在自然同態下，$V$的所有包含$S$的向量空間與$V/S$的所有子空間建立了一一對應
由此可推出下面的三個同構定理
定理4(第一同構定理)
設$V,W$是兩個向量空間,$\sigma \in L(V,W)$是線性映射.則
\[ V/\text{Ker}(\sigma) \cong \text{Im}(\sigma) \]
定理5(第二同構定理)
設$S,T \subset V$是向量空間$V$的兩個子空間，則
\[ (S+T)/S \cong S/(S \cap T) \]
定理6(第三同構定理)
設$S \subset T \subset V$均為向量空間，則
\[ \frac{V/S}{T/S} \cong V/T \]
另外，還有
命題1
設$V = V_1 \oplus V_2,S = S_1 \oplus S_2$均為向量空間，則
\[ \frac VS = \frac{V_1 \oplus V_2}{S_1 \oplus S_2} \cong \frac{V_1}{S_1} \boxplus \frac{V_2}{S_2} \]
下面的定理與對偶空間相關
定理7
設$V$是向量空間，則$\dim(V) \le \dim(V^*)$.等號成立當且僅當$V$是有限維.
定理8
設$V$是向量空間，對$\alpha \in V$,定義$\overline {\alpha} \in V^{**}$，滿足$\overline{\alpha}(f) = f(\alpha)$.則映射$\tau:V \to V^{**}:\alpha \mapsto \overline{\alpha}$是單同態。且當$V$是有限維的時候，$\tau$是同構映射
命題2
$\tau(\text{span}(M)) = M^{00}$
命題3
$(S+T)^0 = S^0 \cap T^0 , (S \cap T)^0 = S^0 + T^0$
命題4
設$V = S \oplus T$均為向量空間，則
\[ T^* \cong S^0 \]
從而，當$V$有限維時，$\dim S + \dim S^0 = \dim V $
命題5
設$V = S \oplus T$均為向量空間，則
\[ (S \oplus T)^* = S^0 \oplus T^0 \]
下面幾個命題與轉置映射有關
定理9
設$V,W$是向量空間,$\tau \in L(V,W)$是線性映射，$\tau^t \in L(W^*,V^*)$是轉置映射，$(\tau^t)^t \in L(V^{**},W^{**})$是轉置映射的轉置映射，則
\[ (\tau^t)^t(\overline{\alpha}) = \overline{\tau \alpha} \]
定理10
設$V,W$是向量空間，$\tau \in L(V,W)$，則
\[ \ker(\tau^t) = \text{Im}(\tau)^0 \qquad \text{Im}(\tau^t) = \ker(\tau)^0 \]