首先，恭喜你讀到了咪博士的這篇文章。本文可以說是該系列最重要、最核心的文章。你對線性代數的一切困惑，根源就在於沒有真正理解矩陣到底是什么。讀完咪博士的這篇文章，你一定會有一種醍醐灌頂、豁然開朗的感覺！
咱們先來說說啥叫變換。本質上，變換就是函數。
例如，你輸入一個向量[ 5 7 ] [57]，
經過某個變換（即函數）的作用之后，輸出另一個向量[ 2 -3 ] [2−3]
既然，變換本質上就是函數，那為啥還要多搞出這樣一個術語？
其實，“變換”這個詞暗示了我們能夠以某種方式可視化 輸入—-輸出 關系。它暗示我們要從向量運動的角度去理解。即，變換讓向量從一個地方（對應輸入向量），運動到了另一個地方（對應輸出向量）。
我們說將變換作用於某個空間，意思是將該變換應用於空間中的每一個向量。
空間中的向量可以用一些規則分布的點來表示。
下面是變換前的樣子，
下面是變換后的樣子。
變換后，空間中的點（即向量）運動到了其他的位置上。
二維空間變換中，等間距的平行網格可以更好地展示變換的性質。
下面是變換前的網格。
下面是變換后的網格。
顯然，變換讓空間發生了扭曲。
為了方便觀察，我們還可以把變換前后的網格都畫在同一張圖上。
變換有時非常地復雜。
例如，下面的幾個例子：
所幸的是，我們在線性代數中討論的線性變換，沒有那么復雜，也更容易理解。
那么線性變換是什么意思呢？如果一個變換同時具有以下 2 條性質，則它是一個線性變換。
- 變換前后，所有的直線仍然是直線
- 變換前后，原點保持不變
換句話說，線性變換是原點不變，並使網絡線保持平行且等距分布的變換。
那么，我們要如何描述一個線性變換呢？
以平面直接坐標系為例，假定我們有一個向量 v = [-1 2 ] v。我們可以將它看成是 2 個基向量 i, j 的線性組合。線性組合的系數分別對應向量的 2 個分量。
在某個線性變換的作用下，i, j 以及 v 都運動到了新的位置。
線性變換前后網絡線保持平行且等距分布，這一性質有一個重要的推論：線性變換后的 v 是變換后的 i 和 j 的線性組合，並且線性組合的系數和變換前一樣（仍然是 -1 和 2）
i
v
事實上，我們只要知道線性變換之后，i, j 的位置（坐標），就可以計算出任意一個向量經過同樣的線性變換之后的位置（坐標）。
這意味着，對於一個線性變換，我們只需要跟蹤基向量在變換前后的變化，就可以掌握整個空間（即全部向量）的變化。我們將線性變換后的基向量坐標按列組合起來，可以拼接成一個矩陣。線性變換的全部信息便都包含在這個矩陣當中了。
那么，向量[ x y ] [xy 經過該線性變換之后，其新坐標的計算方法如下：
這一計算過程，我們可以用矩陣乘法來表達。將向量[ x y ] [xy 記作
x，將整個矩陣記作 A，將線性變換后的向量記作
,整個等式是不是變成了大家熟悉的 
Ax你可以把它看成是矩陣和向量相乘，也可以把它看成是一個線性方程組，現在你還可以把它看成是一個線性變換。多么奇妙的一件事啊！
一旦你理解的本節教程的精髓，你便可以秒懂原來看起來十分費解的線性變換。
例如，逆時針旋轉 90 度對應的線性變換矩陣是什么呢？
記住，對於線性變換，我們只需要跟蹤原來的基向量在線性變換后的位置（坐標），然后把它們按列拼成一個矩陣，這個矩陣就是相應的線性變換矩陣。
下面是一個剪切變換，你能一眼就看出它在做什么嗎？
我們再來看下面這個線性變換，其線性變換矩陣的 2 個列向量是線性相關的。這個線性變換會將整個二維空間壓縮到一條直線上。通過這個例子，你是不是對線性相關、線性無關有了更直觀的、更深刻的認識了呢？
總之，線性變換是操縱空間的一種手段。線性變換保持原點不動，網格線平行且等距分布。只需要幾個數字（變換后基向量的坐標）就可以清晰地描述一個線性變換。將變換后基向量的坐標按列拼接成一個矩陣。這個矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言。線性變換作用於一個向量，對應於用線性變換矩陣左乘該向量。
以后，當你再看到矩陣的時候，你都可以將它解讀為對空間的某種線性變換，這是深刻理解矩陣乘法、行列式、基變換，以及特征值等概念的重要基礎。掌握了本節（從線性變換的角度）看待矩陣的方式，線性代數中，原本極其抽象的概念，都將瞬間變得清晰起來。線性代數中各種看似莫名其妙的運算，以及各種神出鬼沒的概念，一下子都變得可愛起來了。
原文鏈接：http://www.ipaomi.com/2017/11/24/線性代數的本質與幾何意義-03-矩陣與線性變換-3blue1brown-咪/