高等代數：4 矩陣的運算

4 矩陣的運算

4.1 矩陣的運算

1、數域K上兩個矩陣稱為相等，如果它們的行數相等，列數也相等，並且它們的所有元素對應相等。

2、定義1：設\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)都是數域K上\(s \times n\)矩陣，令

\[C=(a_{ij}+b_{ij})_{s \times n}, \]

則稱矩陣C是矩陣A與B的和，記作\(C=A+B\)。

3、定義2：設\(A=(a_{ij})\)是數域K上\(s \times n\)矩陣，\(k\in K\)，令

\[M=(ka_{ij})_{s \times n}, \]

則稱矩陣M是k與矩陣A的數量乘積，記作\(M=kA\)。

4、設\(A=(a_{ij})\)，矩陣\((-a_{ij})\)稱為A的負矩陣，記作—A。容易驗證，矩陣的加法與數量乘法運算滿足類似於n維向量的加法與數量乘法所滿足的8條運算法則。並可由負矩陣概念定義矩陣減法運算。

5、定義3：設\(A=(a_{ij})_{s \times n}\)，\(B=(b_{ij})_{n \times m}\)，令

\[C=(c_{ij})_{s \times m}, \]

其中

\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\, ,\, i=1,2,\dots,s;j=1,2,\dots,m. \]

則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記作\(C=AB\)。

注：

（1）只有左矩陣的列數與右矩陣的行數相同的兩個矩陣才能相乘；

（2）乘積矩陣的\((i,j)\)元等於左矩陣的第\(i\)行與右矩陣的第\(j\)列的對應元素的乘積之和；

（3）乘積矩陣的行數等於左矩陣的行數，乘積矩陣的列數等於右矩陣的列數。

6、對於\(AB=0\)，若\(B\not=0\)，則稱A是一個左零因子，若\(A\not=0\)，則稱B是是一個右零因子，左零因子和右零因子統稱為零因子。顯然，零矩陣是零因子，稱為平凡的零因子。

7、矩陣的乘法適合結合律和左右分配律。另與數量乘法一起滿足：\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)。

8、主對角線上元素都是1，其余元素為0的n級矩陣稱為n級單位矩陣，記作\(I_n\),或簡記\(I\)。\(kI\)稱為數量矩陣。

9、若\(AB=BA\)，則稱A與B可交換。數量矩陣與任一同級矩陣可交換。

10、由於矩陣的乘法適合結合律，因此可定義n級矩陣A的非負整數次冪：

\[\begin{aligned} &A^m\xlongequal{\text{def}}A\cdot A\cdot \ldots\cdot A,\,m\in Z^+;\\ &A^0\xlongequal{\text{def}}I. \end{aligned} \]

容易看出，對於任意自然數\(k,l\)有：

\[A^kA^l=A^{k+l},\,(A^k)^l=A^{kl}. \]

注：由於矩陣乘法不滿足交換律，故一般來說，\((AB)^k\not=A^kB^k\)。

11、對於矩陣轉置有：

\[\begin{aligned} (1)\qquad&(A+B)'=A'+B';\\ (2)\qquad&(kA)'=kA';\\ (3)\qquad&(AB)'=B'A'. \end{aligned} \]

4.2 特殊矩陣

1、對角矩陣

定義1：主對角線以外的元素全為0的方陣稱為對角矩陣，簡記作：\(diag\{d_1,d_2,\dots,d_n\}\)。

命題1：用一個對角矩陣左（右）乘一個矩陣A，就相當於用對角矩陣的主對角元分別去乘A的相應的行（列）。

2、基本矩陣

定義2：只有一個元素是1，其余元素全為0的矩陣稱為基本矩陣。\((i,j)\)元為1的基本矩陣記作\(E_{ij}\)。故：

\[A=(a_{ij})_{s \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & ... & a_{sn} \end{bmatrix}=a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12}+\dots+a_{sn}E_{sn}=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. \]

命題2：用\(E_{ij}\)左乘一個矩陣A，就相當於把A的第j行搬到第i行的位置，而乘積矩陣的其余行全為零行；用\(E_{ij}\)右乘一個矩陣A，就相當於把A的第j列搬到第i列的位置，而乘積矩陣的其余列全為零列。故：

\[\begin{aligned} &E_{ij}E_{kl}= \begin{cases} E_{il}&當k=j; \\ 0&當k\not=j. \end{cases} \\ &E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}. \end{aligned} \]

3、上（下）三角矩陣

定義3：主對角線下（上）方元素全為0的方陣稱為上（下）三角矩陣。

A為上三角矩陣的充分必要條件：

\[a_{ij}=0,當i>j.\, A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. \]

命題3：兩個n級上三角矩陣A與B的乘積仍為上三角矩陣，並且AB的主對角線元素等於A與B的相應主對角元的乘積。兩個n級下三角矩陣A與B的乘積仍為下三角矩陣，並且AB的主對角線元素等於A與B的相應主對角元的乘積。

4、初等矩陣

定義4：由單位矩陣經過一次初等行（列）變換得到的矩陣稱為初等矩陣。容易得出，初等矩陣只有下面三種類型：

\[\begin{aligned} &I\xrightarrow{(j)+(i)\cdot k}P(j,i(k)),\\ &I\xrightarrow{(i,j)}P(i,j),\\ &I\xrightarrow{(i)\cdot c}P(i(c)),\, c\not=0; \end{aligned} \]

設A是一個\(s \times n\)矩陣，它的行向量組是\(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s\)；列向量組是\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)。則

\[\begin{aligned} &P(j,i(k))A=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_i \\ \vdots \\ k\gamma_i+\gamma_j \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix} ,\\ &AP(j,i(k))=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}=(\alpha_1,\dots,\alpha_i+k\alpha_j,\dots,\alpha_j,\dots,\alpha_n) \end{aligned} \]

由上訴看出：

\[\begin{aligned} &用P(j,i(k))左乘A，就相當於把A的第i行的k倍加到第j行上，其余行不變；\\ &用P(j,i(k))右乘A，就相當於把A的第j列的k倍加到第i列上，其余列不變；\\ &用P(i,j)左（右）乘A，就相當於把A的第i行（列）與第j行（列）互換，其余行（列）不變；\\ &用P(i(c))(c\not=0)左（右）乘A，就相當於用c乘A的第i行（列），其余行（列）不變。 \end{aligned} \]

定理1：用初等矩陣左（右）乘一個矩陣A，就相當於A作了一次相應的初等行（列）變換。

5、對稱矩陣

定義5：一個矩陣A如果滿足\(A'=A\)，那么稱A是對稱矩陣。

命題4：設A、B都是數域K上的n級對稱矩陣，則\(A+B，kA(k\in K)\)都是對稱矩陣。

命題5：設A、B都是數域K上的n級對稱矩陣，則AB為對稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換。

6、斜對稱矩陣

定義6：一個矩陣A如果滿足\(A'=-A\)，那么稱A是斜對稱矩陣。

命題6：數域K上奇數級斜對稱矩陣的行列式等於0。

4.3 矩陣乘積的秩與行列式

1、定理1：設\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times m}，則：rank(AB)\leqslant min\{rank(A),rank(B)\}.\)

2、定理2：設\(A=(a_{ij})_{n \times n},B=(b_{ij})_{n \times n}，則：|AB|=|A||B|.\)

3、定理3（Binet-Cauchy公式）：\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}，\)

\[\begin{aligned} &(1)如果s>n，那么|AB|=0；\\ &(2)如果s\leqslant n，那么|AB|等於A的所有s階子式與B的相應s階子式的乘積之和，即\\ &|AB|=\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\dots<v_s\leqslant n} A\begin{pmatrix} 1,2,\dots,s \\ v_1,v_2,\dots,v_s \end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix} v_1,v_2,\dots,v_s \\ 1,2,\dots,s \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

4、命題1：設\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}，設正整數r\leqslant s\)，

\[\begin{aligned} &(1)如果r>n，那么AB的所有r階子式都等於0；\\ &(2)如果r\leqslant n，那么AB的任一r階子式為\\ &AB\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \\ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\dots<v_r\leqslant n} A\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \\ v_1,v_2,\dots,v_r \end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix} v_1,v_2,\dots,v_r \\ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

5、矩陣A的一個子式如果行指標與列指標相同，那么稱它為A的一個主子式。

4.4 可逆矩陣

1、定義1：對於數域K上矩陣A，如果存在數域K上矩陣B，使得

\[AB=BA=I \tag{1} \]

那么稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣）。

2、定義2：如果A是可逆矩陣，那么適合（1）式的矩陣B稱為A的逆矩陣，記作\(A^{-1}\)。\(A^{-1}\)是唯一的。

3、定理1：數域K上n級矩陣A可逆的充分必要條件是\(|A|\not=0\)。當A可逆時，

\[A^{-1}=\frac 1 {|A|} A^*. \tag{2} \]

稱\(A^{*}\)為A的伴隨矩陣。滿足\(AA^{*}=A^{*}A=|A|I\)。

數域K上n級矩陣A可逆的充分必要條件匯總：

\[\begin{aligned} &數域K上n級矩陣A可逆 \\ \iff&|A|\not=0\\ \iff&A為滿秩矩陣\\ \iff&A的行（列）向量組線性無關 \\ \iff&A的行（列）向量組為K^{n}的一個基\\ \iff&A的行（列）空間等於K^{n}\\ \iff&A可以表示成一些初等矩陣的乘積。 \end{aligned} \]

命題1：設A與B都是數域K上的n級矩陣，如果\(AB=I\)，那么A與B都是可逆矩陣，並且\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\)。

4、可逆矩陣的性質：

\[\begin{aligned} &性質1：單位矩陣I可逆，且I^{-1}=I。\\ &性質2：如果A可逆，那么A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1}=A。\\ &性質3：如果n級矩陣A、B都可逆，那么AB也可逆，並且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。推廣：(A_1A_2\dots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\dots A_2^{-1}A_1^{-1}。\\ &性質4：如果A可逆，那么A'也可逆，並且(A')^{-1}=(A^{-1})'。\\ &性質5：可逆矩陣經過初等行變換化成的簡化行階梯形矩陣一定是單位矩陣。\\ &性質6：矩陣A可逆的充分必要條件是它可以表示成一些初等矩陣的乘積。\\ &性質7：用一個可逆矩陣左（右）乘一個矩陣A，不改變A的秩。 \end{aligned} \]

5、初等變換法求逆矩陣：

\[(A,I)\xrightarrow{\text{初等行變換}}(I,A^{-1}) \]

4.5 矩陣的分塊

1、對於分塊矩陣\(A=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix},A'=\begin{bmatrix}A_1'&A_3'\\A_2'&A_4' \end{bmatrix}\)。

2、分塊矩陣相乘需滿足下列條件：

\[\begin{aligned} &(1)左矩陣的列組數等於右矩陣的行組數；\\ &(2)左矩陣每個列組所含列數等於右矩陣相應行組所含行數。 \end{aligned} \]

3、命題1：\(設A是s \times n矩陣，B是n \times m矩陣，B的列向量組為\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。則\)

\[AB=A(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_m). \]

推論1：\(設A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量組是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。則\)

\[AB=\bold 0\iff\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m 都是齊次線性方程組AX=\bold 0的解。 \]

推論2：\(設A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量組是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m;C_{s \times m}的列向量組是\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_m。則\)

\[AB=C\iff\beta_i是線性方程組AX=\delta_i的一個解，i=1,2,\dots,m. \]

4、分塊矩陣的初等行變換：

\[\begin{aligned} &(1)把一個塊行的左P倍（P是矩陣）加到另一個塊行上，如\\ &\qquad \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix}\xrightarrow{(2)+P\cdot (1)} \begin{bmatrix}A_1&A_2\\PA_1+A_3&PA_2+A_4 \end{bmatrix};\\ &(2)互換兩個塊行的位置；\\ &(3)用一個可逆矩陣左乘某一塊行（為的是可以把所得到的分塊矩陣變回原來的分塊矩陣）。 \end{aligned} \]

類似的有分塊矩陣的初等列變換。

把單位矩陣分塊，並經過一次分塊矩陣的初等行（列）變換得到的矩陣稱為分塊初等矩陣。

5、分塊對角矩陣：\(diag\{A_1,A_2,\dots,A_s\},其中A_i是方陣,i=1,2,\dots,s.\)

6、分塊上（下）三角矩陣：主對角線上子矩陣都是方陣，而位於主對角線上（下）方的所有矩陣都為0。

性質：\(\begin{vmatrix} A&0\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|.\)

7、命題2：\(設A、B分別是s \times n、n \times s矩陣，則\)

\[\begin{aligned} &(1)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|;\\ &(2)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_n-BA|;\\ &(3)|I_s-AB|=|I_n-BA|. \end{aligned} \]

8、命題3：\(設A=\begin{bmatrix}A_1&A_3\\0&A_2 \end{bmatrix}，其中A_1，A_2都是方陣。則A可逆當且僅當A_1，A_2都可逆，此時\)

\[A^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\0&A_2^{-1} \end{bmatrix}. \]

4.6 正交矩陣\(\cdot\)歐幾里得空間\(R^n\)

1、定義1：實數域上的n級矩陣A如果滿足：\(AA'=I\)，那么稱A是正交矩陣。

命題1：實數域上的n級矩陣A是正交矩陣

\[\begin{aligned} &\iff AA'=I\\ &\iff A可逆，且A^{-1}=A'\\ &\iff A'A=I \end{aligned} \]

正交矩陣具有下列性質：

\[\begin{aligned} &(1)I是正交矩陣；\\ &(2)若A和B是正交矩陣，則AB也是正交矩陣；\\ &(3)若A是正交矩陣，則A^{-1}（即A'）也是正交矩陣；\\ &(4)若A是正交矩陣，則|A|=1或-1。 \end{aligned} \]

命題2：設實數域上n級矩陣A的行向量組為\(\gamma_1,\dots,\gamma_n\)；列向量組為\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。則

\[\begin{aligned} &(1)A為正交矩陣當且僅當A的行向量組滿足：\gamma_i\gamma_j'=\begin{cases}1,\qquad 當i=j,\\0,\qquad 當i\not=j;\end{cases}\\ &(1)A為正交矩陣當且僅當A的列向量組滿足：\alpha_i'\alpha_j=\begin{cases}1,\qquad 當i=j,\\0,\qquad 當i\not=j.\end{cases} \end{aligned} \]

引用Kronecker記號\(\delta_{ij},\delta_{ij}=\begin{cases}1,\qquad 當i=j,\\0,\qquad 當i\not=j.\end{cases}\)。故命題2可簡記為：

\[\begin{aligned} &(1)\gamma_i\gamma_j'=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \\ &(2)\alpha_i'\alpha_j=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \end{aligned} \]

2、定義2：\(在R^n中，任給\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)，規定\)

\[(\alpha,\beta)\xlongequal{\text{def}}a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n,\tag{1} \]

這個二元實值函數\((\alpha,\beta)稱為R^n\)的一個內積（通常也稱為標准內積）。（1）式可寫為\((\alpha,\beta)=\alpha\beta'\).

可驗證\(R^n\)的標准內積具有以下性質：

\[\begin{aligned} &(1)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)，對稱性\\ &(2)(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha,\beta)+(\gamma,\beta)，線性性1\\ &(3)(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)，線性性2\\ &(4)(\alpha,\alpha)\geqslant 0，等號成立當且僅當\alpha=\bold 0。（正定性） \end{aligned} \]

定義了內積之后，n維向量空間\(R^n\)就被稱為一個歐幾里得空間。

在歐幾里得空間\(R^n\)中規定向量\(\alpha 的長度：|\alpha|\xlongequal{\text{def}}\sqrt{(\alpha,\alpha)}.\)

長度為1的向量稱為單位向量，把非零向量\(\alpha\)乘以\(\frac 1 {|\alpha|}\)稱為把\(\alpha\)單位化。

如果\((\alpha,\beta)=0\)，那么稱\(\alpha與\beta\)是正交的，記作\(\alpha \bot \beta\)。非零向量組成的向量組如果向量兩兩正交，則稱為正交向量組。類似可定義正交單位向量組。

命題3：歐幾里得空間\(R^n\)中，正交向量組一定是線性無關的。

根據命題3得，歐幾里得空間\(R^n\) 中，n個向量組成的正交向量組一定是\(R^n\)的一個基，稱它為正交基。n個單位向量組成的向量組稱為標准正交基。

命題4：實數域上n級矩陣A是正交矩陣的充分必要條件為：A的行（列）向量組是歐幾里得空間\(R^n\)的一個標准正交基。

3、定理1：\(設\alpha_1,\dots,\alpha_s是歐幾里得空間R^n中一個線性無關的向量組，令\)

\[\begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac {(\alpha_2,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1,\\ &\dots\\ &\beta_s=\alpha_s-\sum_{j=1}^{s-1} \frac {(\alpha_s,\beta_j)} {(\beta_j,\beta_j)} \beta_j, \end{aligned}\tag{2} \]

\(則\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s是正交向量組，並且\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s與\alpha_1,\dots,\alpha_s等價。\)

定理1稱為施密特（Schmidt）正交化過程。只要再進行單位化，就能得到正交單位向量組，即\(R^n\)的標准正交基。

4.7 從\(K^n到K^s\)的線性映射

1、定義1：設\(S和S'\)是兩個集合，如果存在一個對應法則\(f\)，使得集合\(S\)中每一個元素a，都有集合\(S'\)中唯一確定的元素b與之對應，那么稱\(f\)是集合\(S\)到\(S'\)的一個映射，記作

\[\begin{aligned} f:&S\rightarrow S'\\&a\mapsto b, \end{aligned} \]

其中，b稱為a在\(f\)下的象，a稱為b在\(f\)下的一個原象。b在\(f\)下的原象集記作\(f^{-1}(b)。\)a在\(f\)下的象用符號\(f(a)\)或\(fa\)表示，於是映射\(f\)也可以記成

\[f(a)=b,a\in S \]

2、設\(f\)是集合S到集合S'的一個映射，則把S叫做映射\(f\)的定義域，把S'叫做\(f\)的陪域。S的所有元素在\(f\)下的象組成的集合叫做\(f\)的值域或\(f\)的象，記作\(f(S)\)或Im\(f\)。即

\[f(S)=\text{Im}f\xlongequal{\text{def}}\{f(a)\,|\,a\in S\}=\{b\in S'\,|\,存在a\in S使f(a)=b\}. \]

3、設\(f\)是集合S到集合S'的一個映射，如果\(f(S)=S'\)，那么稱\(f\)是滿射（或\(f\)是S到S'上的映射）。\(f\)是滿射當且僅當\(f\)的陪域中每一個元素都有至少一個原象。

如果映射\(f\)的定義域S中不同的元素的象也不同，那么稱\(f\)是單射（或\(f\)是一對一映射）。\(f\)是單射當且僅當從\(a_1,a_2\in S\)且\(f(a_1)=f(a_2)\)可以推出\(a_1=a_2。\)

如果映射\(f\)既是單射，又是滿射，那么稱\(f\)是雙射（或\(f\)是S到S'的一個一一對應）。\(f\)是雙射當且僅當陪域中每一個元素都有唯一的一個原象。

映射\(f\)與映射\(g\)稱為相等，如果他們的定義域相等，陪域相等，並且對應法則相同。（\(即\forall x\in S,有f(x)=g(x)\)）。

集合S到自身的一個映射，通常稱為S上的一個變換。

4、定義2：映射\(f:S\rightarrow S\)，如果把S中每一個元素對應到它自身，即\(\forall x\in S,有f(x)=x\)，那么稱\(f\)是恆等映射（或S上的恆等變換），記作：\(1_s\)。

5、定義3：相繼施行映射\(g:S\rightarrow S'和f:S'\rightarrow S''，得到S到S''\)的一個映射，稱為\(f與g\)的乘積（或合成），記作\(fg\)。即

\[(fg)(a)\xlongequal{\text{def}}f(g(a)),\forall a\in S. \]

定理1：映射的乘法適合結合律。即如果\(h:S\rightarrow S',g:S'\rightarrow S'',f:S''\rightarrow S'''\)，那么\(f(gh)=(fg)h.\)

注意映射的乘法不適合交換律，但對於\(f:S\rightarrow S',有f1_s=1_sf=f.\)

6、定義4：設\(f:S\rightarrow S'\)，如果存在一個映射\(g:S'\rightarrow S使得fg=gf=1_s\)，那么稱映射\(f\)是可逆的，此時稱\(g是f\)的一個逆映射。

定理2：映射\(f:S\rightarrow S'\)是可逆的充分必要條件為\(f\)是雙射。

7、定義5：數域K上的向量空間\(K^n 到K^s\)的一個映射\(\sigma\)如果保持加法和數量乘法，即\(\forall \alpha,\beta \in K^n,k\in K\)，有

\[\begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta)&=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\\ \sigma(k\alpha)&=k\sigma(\alpha), \end{aligned} \]

那么稱\(\sigma是K^n 到K^s\)的一個線性映射。

設A是數域K上\(s \times n\)矩陣，令

\[\begin{aligned} A:&K^n\rightarrow K^s\\&\alpha\mapsto A\alpha, \end{aligned}\tag{1} \]

則容易驗證A是\(\sigma是K^n 到K^s\)的一個線性映射。

事實1：數域K上n元線性方程組\(AX=\beta\)有解

\[\begin{aligned} \iff&存在\gamma \in K^n,使得A\gamma=\beta\\ \iff&存在\gamma \in K^n,使得A(\gamma)=\beta\\ \iff&\beta \in \text{Im}A. \end{aligned} \]

事實2：設數域K上\(s \times n\)矩陣A的列向量組是\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，則

\[\begin{aligned} &\beta\in \text{Im}A\\ \iff&線性方程組AX=\beta有解\\ \iff&\beta \in <\alpha_1,\dots,\alpha_n>. \end{aligned} \]

因此\(\qquad \text{Im}A=<\alpha_1,\dots,\alpha_n>\)

即，由（1）式定義的映射A的象（值域）等於矩陣A的列空間，從而Im\(A\)是\(K^s\)的一個子空間。

事實3：設數域K上齊次線性方程組\(AX=\bold 0\)的解空間是W，則

\[\eta \in W \iff A\eta=\bold 0 \iff A(\eta)=\bold 0. \]

8、定義6：設\(\sigma 是K^n到K^s\)的一個映射，\(K^n\)的一個子集\(\{\alpha \in K^n|\sigma(\alpha)=\bold 0\}\)稱為\(\sigma\)的核，記作：Ker \(\sigma\)

容易驗證Ker \(\sigma\)是\(K^n\)的一個子空間。

由（1）式定義的線性映射A的核等於齊次線性方程組\(AX=\bold 0\)的解空間。即：Ker \(\sigma=W\)

綜上，有：

\[dim \,\text{Ker}\,A+dim\,\text{Im}\,A=dim\,K^n. \]