高等代數2 向量組

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目錄

• 高等代數2 向量組
• 定義
• 基本關系
  • 加法
  • 數量乘法
  • 向量空間
• 線性相關性
  • 等價
  • 線性相關
  • 線性無關
  • 判斷線性相關還是無關
  • 極大線性無關組
• 向量組的秩

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假定在固定數域\(P\)上。

定義

• 所謂數域\(P\)上一個\(n\)維向量組就是由數域\(P\)中\(n\)個數組成的有序數組

\[(a_1,a_2,\cdots,a_n), \]

​ \(a_i\)稱為向量的分量。

我們用小寫希臘字母\(\alpha,\beta,\gamma,\cdots\)來表示向量。

• 行向量 \(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)

• 列向量

  \[\alpha=\left ( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{matrix} \right ) \]

  區別只是寫法不一樣

基本關系

• 相等

  如果\(n\)維向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)的對應分量都相等，即\(a_i=b_i(i=1,2,\cdots,n)\)

  即稱這兩個向量組是相等的，記作\(\alpha=\beta\)

加法

• 加法

  向量\(\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\)稱為向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)的和，記作\(\gamma=\alpha+\beta\)。

• 交換律 \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)

• **結合律 ** \(\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma\)

• 零向量 分量全部為零的向量\((0,0,\cdots,0)\)稱為零向量，記為\(\mathfrak0\).

  ​ \(\alpha+\mathfrak0=\alpha\)

• 負向量 向量\((-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)\)稱為向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)的負向量，記為\(-\alpha\)。

  ​ \(\alpha+(-\alpha)=\mathfrak0\)

• 減法

  ​ \(\alpha - \beta=\alpha+(-\beta)\)

數量乘法

• 數量乘積

  設\(k\)是數域\(P\)中的數，向量\(k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)\),稱為向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)與數\(k\)的數量乘積，記為\(k\alpha\)。

  ​

  \[k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta \\ (k+l)\alpha =k\alpha+l\alpha \\ k(l\alpha)=(kl)\alpha \\ 1\alpha=\alpha\\ 0\alpha=\mathfrak{0} \\ (-1)\alpha=-\alpha \\ k\mathfrak{0}=\mathfrak{0} \\ 如果k\neq0,\alpha \neq \mathfrak0 ，那么 k\alpha \neq \mathfrak0 \]

• 成比例

  向量\(\alpha\)與\(\beta\)成比例就是說有一數\(k\)使 \(\alpha=k\beta\)

向量空間

以數域\(P\)中的數作為分量的\(n\)維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數量乘法，稱為數域\(P\)上的\(n\)維空間向量。

線性相關性

• 線性組合

  向量\(\alpha\)稱為向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\)的一個線性組合，如果有數域\(P\)中的數\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)使

  \[\alpha = k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n \]

• \(n\)維單位向量

  任意一個\(n\)維向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)都是向量組

  \[\begin{cases} \varepsilon_1=(1,0,\cdots,0) \\ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1)\\ \end{cases} \]

  的一個線性組合 \(\alpha = k_1\varepsilon_1+k_2\varepsilon_2+\cdots+k_n\varepsilon_n\)

  向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)稱為\(n\)維單位向量。

  零向量是任一向量組的線性組合

• 線性表出

  • 當向量\(\alpha\)是向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)的一個線性組合時，我們也可以說\(\alpha\)可以經向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出。

  • 如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)中的每一個向量\(a_i(i=1,2,\cdots,t)\)都可以經向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出，那么向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)就可稱為經向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出。

  每一個向量組都可以經它自身線性表出。

  如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)可以經向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出，向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)可以經向量組\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)線性表出，那么向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)可以經向量組\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)線性表出。

等價

如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價。

等價的性質

• 自反性 每一個向量組與它自身等價
• **對稱性 ** 如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)與\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)等價，那么向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)也與\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)等價。
• 傳遞性 如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)與向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)等價，向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)與向量組\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)等價，那么向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t\)與向量組\(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p\)等價。

線性相關

• 如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 2)\)中有一個向量可以由其余的向量線性表出，那么向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)稱為線性相關的。

• 向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 1)\)稱為線性相關，如果有數域\(P\)中不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使

\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathfrak0 \]

線性無關

• 向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geq 1)\)不線性相關，即沒有不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)使

\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathfrak0 \]

​ 就稱為線性無關

• 一向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)稱為線性無關，如果由

  \[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathfrak0 \]

  可以推出 \(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)

• 如果一向量組的一部分線性相關，那么這個向量組就線性相關。如果一個向量組線性無關，那么它的任何一個非空的部分組也線性無關。

• \(n\)維單位向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)組成的向量組是線性無關的。

判斷線性相關還是無關

一般的，要判斷一個向量組\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,s\)是否線性相關，就是看方程

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s=\mathfrak0 \]

有無非零解。

方程按分量寫出來為

\[ \\ \begin{cases} a_{11}x_1 +a_{21}x_2+\cdots +a_{s1}x_n=0 \\ a_{12}x_1 +a_{22}x_2+\cdots +a_{s2}x_n=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{1n}x_1 +a_{2n}x_2+\cdots +a_{sn}x_n=0 \\ \end{cases} \]

因此，向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組只有零解。

• 如果向量組線性無關，那么在每一個向量上添加一個分量所得到的\(n+1\)維的向量組也線性無關。

• 定理

  設\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)與\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)是兩個向量組。如果

  1. 向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)可以經\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出；
  2. \(r>s\)

  那么向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)必線性相關。

  • 推論1 如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)可以經\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出，且\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_r\)線性無關，那么\(r\leq s\)。
  • 推論2 任意\(n+1\)個\(n\)維向量必線性相關。
  • 推論3 兩個線性無關的等價的向量組，必含有相同個數的向量。

極大線性無關組

• 定義

  一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，並且從這向量組中任意添加一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關。

  • 一個線性無關向量組的極大線性無關組就是這個向量組本身。

• 任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。

  一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

• 定理 一向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量。

向量組的秩

• 定義

  向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩。

  全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關組。我們規定這樣的向量組的秩為零。

• 一向量組線性無關的充分必要條件為它的秩與它所包含向量的個數相同。

• 等價的向量組有相同的秩。

• 含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組，且任一個無關的部分向量組都能擴充成一個極大線性無關組。