A man's feet should be planted in his country, but his eyes should survey the world.
一個人應該立足本土，放眼世界。
高等數學（8） —— 向量代數與空間解析幾何
這里是高數（下）的筆記，
和高數（上）一起更新，不知道更不更得完。
祝我會的都憋得出，不會的蒙的出。
目錄
有點多哦
1. 向量及其線性運算1.1 向量的概念1.2 向量的線性運算1.2.1 向量的加法1.2.2 向量與數的乘法1.3 空間直角坐標系2. 數量積 向量積 混合積3. 平面及其方程3.1 曲面方程與空間曲線方程的概念3.2 平面的點法式方程3.3 平面的一般方程3.4 兩平面的夾角4. 空間直線及其方程4.1 空間直線的一般方程4.2 空間直線的對稱方程式與參數方程4.2.1 點向式方程4.2.1 參數方程4.3 兩直線的夾角4.4 直線與片面的夾角5. 曲面及其方程5.1 曲面研究的基本問題5.2 旋轉曲面5.3 柱面5.4 二次曲面6. 空間曲線及其方程6.1 空間曲線的一般方程6.2 空間曲線的參數方程
1. 向量及其線性運算
1.1 向量的概念
向量： 有向線段。（既有大小，又有方向），常指與起點無關的向量——自由向量。
相等： 大小相等，方向相同的兩個向量是相等的。
模： 向量的大小。模長為1的向量即單位向量，模長為0即零向量。
1.2 向量的線性運算
線性運算： 向量相加及其數乘的統稱。
1.2.1 向量的加法
方法： 三角形法則（平行四邊形法則）。
規律： 交換律、結合律。
1.2.2 向量與數的乘法
向量平行的充要條件：
規律： 結合律、分配律。
1.3 空間直角坐標系
坐標軸： 三條兩兩垂直的單位向量以及一個點作為原點所確定的三條兩兩垂直的數軸。
一般坐標軸的正向符合右手規划。
卦限： 理解為平面坐標系的象限，正面右上為第一卦限，逆時針螺旋數。
向徑： 表示原點到指定點的向量。
2. 數量積 向量積 混合積
3. 平面及其方程
3.1 曲面方程與空間曲線方程的概念
曲面和曲線都看作點的幾何規矩。
曲面方程：
- 曲面上任意點都滿足上述方程。
- 曲面外的點都不滿足上述方程。
曲線方程： 為兩個曲面的交線
3.2 平面的點法式方程
法向量： 垂直於指定平面的非零向量。
假設M0為指定平面上的一點，那么當任意與其所構成的向量M與該平面的法向量點積，結果一定為0。
上述所確定的方程即平面的點法式方程。
3.3 平面的一般方程
根據3.2所得到的方程，將其中所含所有常量的代數和用D表示，有：
即平面的一般方程。
平面的截距式方程：
3.4 兩平面的夾角
兩平面的夾角： 兩平面的法向量的夾角。
4. 空間直線及其方程
4.1 空間直線的一般方程
空間直線可以用兩個平面的交線表示，則需用一個方程組表示：
上述方程即空間直線的一般方程。
4.2 空間直線的對稱方程式與參數方程
4.2.1 點向式方程
我有一個風能電風扇，只要有風，它就會轉。
直線的對稱式方程：又稱點向式方程，
直線的方向余弦： 即向量s的方向余弦。
4.2.1 參數方程
當m、n、p不為零時，設
可得：
上述方程組即直線的參數方程。
- 當m、n、p有一個為零，如 m=0，方程組為：
- 當m、n、p有兩個為零，如 m=n=0，有：
4.3 兩直線的夾角
4.4 直線與片面的夾角
5. 曲面及其方程
5.1 曲面研究的基本問題
- 已知點的幾何軌跡，求方程。
- 已知方程研究形狀。
5.2 旋轉曲面
旋轉曲面的方程：
形如：
如果三元二次方程中有兩個變量的系數一樣，那這個方程就是旋轉曲面方程。
5.3 柱面
任意平面中的曲線方程，於平面，就是線，於空間就是柱面。
5.4 二次曲面
我們用的多的一般就是：柱面和旋轉曲面；
“二次曲面”大家自己進一步熟悉它的方程和圖形。
—— 吾師
咱也不敢說，看個樂呵。
6. 空間曲線及其方程
這里簡單略過一些東西。
6.1 空間曲線的一般方程
和空間直線類比，空間曲線可以表示為兩個曲面的交線，即：
6.2 空間曲線的參數方程
