高等數學 - 解析幾何
高等數學解析幾何中部分內容不難，但涉及一些變換的技巧，不易記憶。
1 向量
1.1 數量積
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\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \theta\)
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\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{a}\)
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\((\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}\)
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記 \(\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)\) ，\(\boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z)\) ，則 \(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\) 。
1.2 向量積
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記 \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) ，滿足 \(|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)，\(\boldsymbol{c}\) 的方向滿足右手定則，為大拇指指向的方向。
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\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}\)
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\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}\)
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記 \(\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)\) ，\(\boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z)\) ，則 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)
1.3 混合積
- 記 \([\boldsymbol{abc}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot c\) 為混合積。
- \([\boldsymbol{abc}]=( \begin{vmatrix}a_y & a_z\\ b_y & b_z\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix}a_x & a_z\\ b_x & b_z\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_x & a_y\\ b_x & b_y\end{vmatrix} )\cdot \boldsymbol{c}= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}\) （行列式按行展開）
2 平面
2.1 點法式方程
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平面過一點 \(M(x_0,y_0,z_0)\) 且與某向量 \(\boldsymbol{a}(A,B,C)\) 垂直，則有平面上任一點 \(P(x,y,z)\) 滿足 \(\overrightarrow{MP}\cdot \boldsymbol{a}=0\) 。
即 \(A(x-x_o)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
2.2 一般方程
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\(Ax+By+Cz+D=0\)
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對比可知，平面的一般方程的法向量為 \((A,B,C)\)
2.3 平面夾角
- 平面的夾角即平面的法向量之間的銳夾角。
記兩個平面為 \(A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) 和 \(A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) 。
\(\cos\theta=|\cos\theta_1|=\frac{|\boldsymbol{a_1}\cdot \boldsymbol{a_2}|}{|\boldsymbol{a_1}||\boldsymbol{a_2}|}=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)
3 直線
3.1 一般方程
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直線為兩個平面的交集
\(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}\)
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對兩個平面的法向量作向量積即可得到直線的方向向量。
3.2 點向式方程
- 直線為通過某一點 \(M(x_0,y_0,z_0)\) 的某個方向 \((a,b,c)\) 上的點集，即對直線上的一點 \(P(x,y,z)\) ，有 \(\overrightarrow{MP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\) 和 \((a,b,c)\) 平行，即可取\(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\) 。
3.3 參數式方程
- 將點向式方程變換一下就得到參數式方程：
\(\begin{cases} x=at+x_0 \\ y=bt+y_0 \\ z=ct+z_0 \end{cases}\)
3.4 兩直線的夾角
- 兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角。
3.5 直線和平面的夾角
- 直線和直線在平面上投影直線的夾角稱為直線和平面的夾角。
3.6 平面束
- 通過直線的所有平面稱為平面束
- 對直線 \(\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 & (1) \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 & (2) \end{cases}\) ，建立平面
\(A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\) 。
首先，這是一個平面方程，其次，直線一定在平面內，最后，這個方程能表示除\((2)\)外的所有通過直線的平面。稱通過直線的所有平面的集合為平面束。
3.7 直線共面
直線共面 \(\iff\) 兩條直線的方向向量以及兩條直線上的連線構成的三個向量秩小於3 。
4 微分幾何
4.1 向量值函數
對 \(\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}\)
取 \(\boldsymbol{r}(t)=(x,y,z)\) ，稱 \(\boldsymbol{r}(t)\) 為向量值函數。
若 \(\boldsymbol{r}(t)\) 在 \(t_o\) 處有極限，則稱其為導數或導向量。導向量是向量值函數的終端所在的曲線的一個切向量。
導向量 \(\boldsymbol{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\)
4.2 空間曲線的切線和法平面
記空間曲線為 \(\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}\) ，則其在 \(t_0\) 處的切向量為對應向量值函數的導向量，即 \((x'(t),y'(t),z'(t))|_{t=t_0}\) ，故直線方程為 \(\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0))}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{t'(t_0)}\) 。對應的切平面為 \((x-x(t_0))x'(t_0)+(y-y(t_0))y'(t_0)+(z-z(t_0))z'(t_0)=0\) 。
4.3 曲面的切平面與法線
記曲面為 \(F(x,y,z)=0\) ，切點為 \((x_0,y_0,z_0)\) ，曲面上過切點的一條曲線為 \(\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{cases}\)
對應的切點為 \(t_0\) ，故切向量為 \((x'(t),y'(t),z'(t))|_{t=t_0}\) ，考慮曲線在曲面上，有 \(F(x(t),y(t),z(t))\equiv0\) ，則 \(F_xx'(t)+F_yy'(t)+F_zz'(t)=0\) ，對比即有 \((F_x,F_y,F_z)\) 始終與切向量垂直，而切向量是過切點的任意一個向量，因此 \((F_x,F_y,F_z)\) 即為曲面在該點的法向量。故切平面為 \((x-x_0)F_x+(y-y_0)F_y+(z-z_0)F_z=0\) ，法線為 \(\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}\) 。
補充：求曲面 \(z=f(x,y)\) 上的某點處的切面與 \(z=0\) 平面的夾角 \(\cos \theta\) 。
解：\(F(x,y,z)=f(x,y)-z\) ，\(F_x=f_x\) ，\(F_y=f_y\) ，\(F_z=1\) 。法向量為 \(\boldsymbol{h_1}=(f_x,f_y,1)\) ，平面 \(x=0\) 的法向量為 \(\boldsymbol{h_2}=(0,0,1)\) ，即 \(\cos \theta=\frac{|\boldsymbol{h_1h_2}|}{|\boldsymbol{h_1}||\boldsymbol{h_2}|}=\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}\)
補充2：求曲面 \(F(x,y,z)=0\) 在某點處的切面和三個坐標平面的夾角。
解：切面法向量為 \((F_x,F_y,F_z)\) ，三個法向量依次為 \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) ，則 \(\cos \theta_x=\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}},\cos\theta_y=\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}},\cos\theta_z=\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}\) 。這里能看到曲面在三個平面上的投影的大小和 \(F_x,F_y,F_z\) 相關。
4.4 方向導數與梯度
方向導數：對 \(f(x,y) ，\)記為 \(\frac{\partial f}{\partial l}|_{x_0,y_0}\) 。對全微分 \(\Delta f=A\Delta x+B\Delta y\) ， 由於 \(\Delta x=\cos \alpha \Delta l\) ，\(\Delta y=\cos \beta \Delta l\) ，即 \(\Delta f=A \cos \alpha \Delta l+B\cos \beta \Delta l+o(\rho)\) ，即 \(\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f_x\cos \alpha + f_y\cos \beta\) 。
注：所謂方向導數，一定是有方向的，值的正負與選定的方向有關。回到計算式上來，\(f_x,f_y\) 總是以坐標軸正向為正方向，因此通過 \(\boldsymbol{l}\) 與坐標軸正向的夾角來體現正負值。例如，選定方向向量為 \(\boldsymbol{l}=(-1,1)\) ，則 \(\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \beta=\frac{\sqrt{2}}{2}\) 。
梯度：記 \(\boldsymbol{grad} f(x_0,y_0)\) 或 \(\nabla f(x_0,y_0)\) ，值為 \((f_x,f_y)\) 。注意：梯度是一個向量。
性質：\(\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f (\cos \alpha, \cos \beta)=|\nabla f| |\boldsymbol{e_l}| \cos \theta\) 。即方向和梯度一致時（ \(\cos\theta=1\) ），方向導數取最大值，為 \(|\nabla f|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}\) 。
5 物理量
5.1 質心
\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\underset{\Sigma}{\iiint}x\rho(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\text{d}z}{V}\) 。
注：等密度體的質心為形心，即 \(\overline{x}=\underset{\Sigma}{\iiint}x\text{d}x\text{d}y\text{d}z\)。
注：聯系期望的公式 \((E(X)=\int_{-\infin}^{\infin}xf(x)\text{d}x)\)，由於總的概率為1，因此期望不用除 \(V\)。
5.2 轉動慣量
\(I_x=\underset{D}{\iint}y^2\rho(x,y)\text{d}x\text{d}y\) 。
\(I_x=\underset{\Sigma}{\iiint}(y^2+z^2)\rho (x,y,z) \text{d}x\text{d}y\text{d}z\) 。