本文來自TangSong.
1. $(10')$ 在 $\bbR^3$ 上定義線性變換 $\scrA,\ \scrA$ 在自然基 \[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\] 下的矩陣為 \[\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)\] 求 $\bbR^3$ 的一組基, 使得 $\scrA$ 在這組基下具有 Jordan 型.
2. $(10')$ $3$ 階實矩陣 $A$ 的特征多項式為 $x^3-3x^2+4x-2$. 證明$A$ 不是對稱陣也不是正交陣.
3. $(15')$ 在所有 $2$ 階實方陣上定義二次型 $f$:$X\rightarrow \tr(X^2)$, 求 $f$ 的秩和符號差.
4. $(15')$ 設 $V$ 是有限維線性空間, $\scrA,\scrB$ 是 $V$ 上線性變換滿足下面條件:
(1) $\scrA\scrB=\scrO$;
(2) $\scrA$ 的任意不變子空間也是 $\scrB$ 的不變子空間;
(3) $\scrA^5+\scrA^4+\scrA^3+\scrA^2+\scrA=\scrO$.
證明 $\scrB\scrA=\scrO$.
5. $(15')$ 設 $V$ 是全體次數不超過 $n$ 的實系數多項式組成的線性空間. 定義線性變換$\scrA$:$f(x)\rightarrow f(1-x)$. 求 $\scrA$ 的特征值和對應的特征子空間.
6. $(15')$ 計算行列式.各行底數為等差數列,各列底數也為等差數列,所有指數都是$50$: \[\left|\begin{array}{ccccc} 1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\ 2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|.\]
7. $(20')$ 設 $V$ 是復數域上有限維線性空間, $\scrA$ 是 $V$ 上可線性變換, $\scrA$ 在一組基下矩陣為 $F$. 證明:
(1) 若 $\scrA$ 可對角化, 對任意 $\scrA$ 的不變子空間 $U$, 存在$U$ 的一個補空間 $W$ 是 $\scrA$ 的不變子空間;
(2) 若對任意 $\scrA$ 的不變子空間 $U$, 存在 $U$ 的一個補空間 $W$ 是 $\scrA$ 的不變子空間,證明 $F$ 可對角化.
8. $(20')$ 平面上一個可逆仿射變換將一個圓映為橢圓或圓. 詳細論證這一點.
9. $(15')$ 平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 與雙曲拋物面 $2z=x^2-y^2$ 交於兩條直線. 證明 $A^2-B^2-2CD=0$.
10. $(15')$ 正十二面體有 $12$ 個面, 每個面為正五邊形, 每個頂點連接 $3$ 條棱. 求它的內切球與外接球半徑比.