2020年北京大學高等代數與解析幾何考研試題
1.(10分)設$V_0=\{0\},V_1,\cdots,V_{n-1},V_{n}=\{0\}$
是$n+1$個有限維線性空間,定義線性變換$\varphi_i:V_{i}\to V_{i+1},i=0,1,2,\cdots,n-1$,若對$i =0,1,2,\cdots,n-1$均有$\mathrm{ker} \varphi_{i+1} = \mathrm{Im}\varphi_i$中,證明$\displaystyle\sum_{i=0}^n(-1)^i\mathrm{dim}(V_i)=0$.
2. (15分)設$c_0,c_1,\cdots,c_k$是$k+1$個復數,證明:存在唯一一個次數不超過$k$的復系數多項式函數$p(x)$使得$p(0)=c_0,p(1)=c_1,\cdots,p(k)=c_k$,且這樣的多項式是唯一的.
3. (20分)設$A$是秩為$r$的實對稱矩陣,試證明必存在一個非零的$r$階主子式使得它的行列式非零,並且任意一個非零的$r$階主子式符號相同.
4. (20分)設$n$階方陣$A=(a_{ij})_{n\times n}$可相似對角化,它的特征值為$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$,每個特征值$\lambda_i$的特征子空間都由一族特征向量$\alpha_ {ij_1},\cdots,\alpha_{ij_n}$張成,設$A^\ast=(A_{ji})_{n\times n}$, $A_{ji}$是$a_{ji}$對應的代數余子式,求$A^\ast$的特征值和特征向量.
5. (15分)設$\varphi$是一個線性變換, $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$是$\varphi$的特征值,證明$\varphi$可對角化的充分必要條件是對$\varphi$的每個特征值$\lambda$,均有$\mathrm{dim}\left(\mathrm{Im} (\lambda \mathrm{id}-\varphi)\right)=\mathrm{dim}\left(\mathrm{Im} (\lambda \mathrm{id}-\varphi)^2\right)$,其中$\mathrm{id}$是恆等變換.
6. (15分)設$\eta$是歐氏空間$V$中的單位向量,定義鏡像變換$\sigma:\sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\eta)\eta$,其中$(\ \ , \ )$表示內積.
(1) 證明$\sigma$是正交變換.
(2) 證明$V$的任意正交變換都可以表示成若干鏡像變換的乘積.
7. (15分)已知向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$滿足$\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{w}\right|> 0,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}$,若對任意非零向量$\overrightarrow{x}$,均存在實數$a,b,c$,使得$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{u}=a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w},\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{v}=a\overrightarrow{v}+ b\overrightarrow{w}+c\overrightarrow{u}$,證明$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w}=a\overrightarrow{w}+ b\overrightarrow{u} +c\overrightarrow{v}$.
8. (20分)設平面直角坐標系下二次曲線$\gamma$的方程為$x^2 + 2y^2 + 6xy + 8x+ 10y +6=0$.
(1) 證明$\gamma$是雙曲線.
(2) 求$\gamma$的長半軸,短半軸的方程與長軸和短軸長,並且說明哪條與$\gamma$相交.
9. (20分)求橢圓$x^2 +8y^2 +4xy + 10x + 12y+4=0$的內接三角形的面積的最大值.
2020年北京大學數學分析考研試題
1. (15分)定義在$[a,b]$上的函數$f(x)$滿足:任取$x_0\in [a,b]$,均有$\limsup_{x\to x_0}f(x)\leq f(x_0)$,問$f(x)$在$[a,b]$上是否有最大值,給出證明或反例.
2. (15分)判斷$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x\cos^2 x}$在$[0,+\infty)$上是否一致連續,並說明理由.
3. (15分) $f(x)$在$[1,+\infty)$連續且滿足:對任意$x,y\in [1,+\infty)$,有$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.問$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$是否存在,給出證明或反例.
4. (15分,第一小題7分,第二小題8分)已知$f(x)$在$[0,1]$連續,單調增加且$f(x)\geq 0$,記
$$s=\frac{\int_{0}^{1}xf(x)\,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x}.$$
(1)證明$s\geq \frac{1}{2}$.
(2)比較$\displaystyle\int_{0}^{s}f(x)\,\mathrm{d}x$與$\displaystyle\int_{s}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x$的大小. (可以用物理或幾何直覺)
5. (15分)根據$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}$,計算$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\,\mathrm{d}x$,並說明計算依據.
6. (15分)在承認平面Green公式的前提下證明如下特殊情況下的Stokes公式
$$\oint_\Gamma R(x,y,z)\,\mathrm{d}z=\iint_\Sigma\frac{\partial R}{\partial y}dydz-\frac{\partial R}{\partial x}dzdx.$$
7. (20分,第一小題10分,第二小題10分) (1)設$0< p<1$,求$f(x)=\cos px$在$[-\pi,\pi]$上的Fourier級數.
(2)證明余元公式
$$\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{-p}dx=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}.$$
8. (20分)設$C_r$為半徑為$r$的圓周, $f(x,y)$滿足$\displaystyle f(0,0)=0,\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=x^2+y^2$, $f(x,y)$是$C^2$的,計算$\displaystyle A(r)=\int_{C_r}f(x,y)\,\mathrm{d}s$.
9. (20分,第一小題12分,第二小題8分)設$q_k\geq p_k>0$, $q_{k+1}-q_k\geq p_k+p_{k+1}$且$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k\ln p_k=+\infty$,記
$$T_{p_k,q_k}(x)\triangleq \frac{\cos (q_k+p_k)x}{p_k}+\frac{\cos (q_k+p_k-1)x}{p_k-1}+\frac{\cos (q_k+p_k-2)x}{p_k-2}+\cdots+\frac{\cos (q_k+1)x}{1}$$
$$ -\frac{\cos (q_k-1)x}{1}-\frac{\cos (q_k-2)x}{2}-\cdots-\frac{\cos (q_k-p_k)x}{p_k},$$
設$\displaystyle a_k\geq 0,\sum_{k=1}^{\infty}a_k<+\infty$, $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_kT_{p_k,q_k}(x)$.
(1) 求證: $f(x)$是在$\mathbb{R}$上連續的以$2\pi$為周期的周期函數.
(2) 判斷並證明: $f(x)$的Fourier級數在$x=0$處的收斂性.
設$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w}=A\overrightarrow{w}+ B\overrightarrow{u} +C\overrightarrow{v}$, $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|
=\left|\overrightarrow{w}\right|=m,\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=n$.
利用混合積的性質可知
\[(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=
\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{v})=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{v},\]
於是
\[a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}
+c\left|\overrightarrow{u}\right|^2=-\left(a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+b\left|\overrightarrow{u}\right|^2\right)+c\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}.\]
即
\[(2a+b+c)m+(b+c)n=0.\]
又
\[(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{w})=
\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{w},\]
於是
\[A\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+B\left|\overrightarrow{u}\right|^2+c\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}
=-\left(a\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+b\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+c\left|\overrightarrow{w}\right|^2\right).\]
即
\[(A+C+a+b)m+(b+c)n=0.\]
由
\[(\overrightarrow{v},\overrightarrow{x},\overrightarrow{w})=
\overrightarrow{v}\cdot (\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{w})=(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{w},\]
於是
\[A\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+B\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+C\left|\overrightarrow{v}\right|^2
=-\left(a\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}+b\left|\overrightarrow{w}\right|^2+c\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}\right).\]
即
\[(A+B+a+c)m+(C+b)n=0.\]