北京大學2020年強基計划招生考試數學試題
選擇題共20小題;在每小題的四個選項中,只有一項符合題目要求,請把正確選項的代號填在表格中,選對得5分,選錯或不選得0分.
1.正實數$x,y,z,w$滿足$x\geq y\geq w$和$x+y\leq 2(z+w)$,則$\frac{w}{x}+\frac{z}{y}$的最小值等於
\begin{tasks}(4)
\task $\frac{3}{4}$
\task $\frac{7}{8}$
\task $1$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
2.在$(2019 \times 2020)^{2021}$的全體正因數中選出若干個,使得其中任意兩個的乘積都不是平方數,則最多可選因數個數為
\begin{tasks}(4)
\task $16$
\task $31$
\task $32$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
3.整數列$\{a_n\}_{n\geq 1}$滿足$a_1=1,a_2=4$,且對任意$n\geq 2$有$a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=2^{n-1}$,則$a_{2020}$的個位數字是
\begin{tasks}(4)
\task $8$
\task $4$
\task $2$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
4.設$a,b,c,d$是方程$x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0$的$4$個復根,則$\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$的值為
\begin{tasks}(4)
\task $-\frac{4}{3}$
\task $-\frac{2}{3}$
\task $\frac{2}{3}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
5.設等邊三角形$ABC$的邊長為$1$,過點$C$作以$AB$為直徑的圓的切線交$AB$的延長線與點$D$, $AD> BD$,則三角形$BCD$的面積為
\begin{tasks}(4)
\task $\frac{6\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$
\task $\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{16}$
\task $\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{16}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
6.設$x,y,z$均不為$\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$,其中$k$為整數,已知$\sin(y+z-x),\sin (x+z-y),\sin (x+
y-z)$成等差數列,則依然成等差數列的是
\begin{tasks}(4)
\task $\sin x,\sin y,\sin z$
\task $\cos x,\cos y,\cos z$
\task $\tan x,\tan y,\tan z$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
7.方程$19x+93y=4xy$的整數解個數為
\begin{tasks}(4)
\task $4$
\task $8$
\task $16$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
8.從圓$x^2+y^2=4$上的點向橢圓$C:\frac{x^2}{2}+y^2= 1$引切線,兩個切點間的線段稱為切點弦,則橢圓$C$內不與任何切點弦相交的區域面積為
\begin{tasks}(4)
\task $\frac{\pi}{2}$
\task $\frac{\pi}{3}$
\task $\frac{\pi}{4}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
9.使得$5x+12\sqrt{xy}\leq a(x+y)$對所有正實數$x,y$都成立的實數$a$的最小值為
\begin{tasks}(4)
\task $8$
\task $9$
\task $10$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
10.設$P$為單位立方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$上的一點,則$PA_1 + PC_1$的最小值為
\begin{tasks}(4)
\task $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
\task $\sqrt{2+2\sqrt{2}}$
\task $2-\frac{\sqrt{2}}{2}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
11.數列$\{a_n\}_{n\geq 1}$滿足$a_1= 1,a_2=9$,且對任意$n\geq 1$有$a_{n+2}= 4a_{n+1}-3a_n-20$,其前$n$項和為$S_n$,則函數$S_n$的最大值等於
\begin{tasks}(4)
\task $28$
\task $35$
\task $47$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
12.設直線$y=3x+m$與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$交於$A,B$兩點, $O$為坐標原點,則三角形$OAB$面積的最大值為
\begin{tasks}(4)
\task $8$
\task $10$
\task $12$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
13.正整數$n\geq 3$稱為理想的,若存在正整數$1\leq k\leq n-1$使得$C_n^{k-1},C_n^k,C_n^{k+1}$構成等差數列,其中$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$為組合數,則不超過$2020$的理想數個數為
\begin{tasks}(4)
\task $40$
\task $41$
\task $42$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
14.在$\triangle ABC$中, $\angle A= 150^\circ$, $D_1,D_2,\cdots,D_{2020}$依次為邊$BC$上的點,且$BD_1=
D_1D_2= D_2D_3=\cdots = D_{2019}D_{2020}= D_{2020}C$,設$\angle BAD_1=\alpha_1,\angle D_1AD_2 =\alpha_2,\cdots,\angle D_{2019}AD_{2020}= \alpha_{2020},\angle D_{2020}AC =\alpha_{2021}$,則$\frac{\sin\alpha_1\sin\alpha_3\cdots \sin\alpha_{2021}}{\sin\alpha_2\sin\alpha_4\cdots \sin\alpha_{2020}}$的值為
\begin{tasks}(4)
\task $\frac{1}{1010}$
\task $\frac{1}{2020}$
\task $\frac{1}{2021}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
15.函數$\sqrt{3+ 2\sqrt{3}\cos\theta+\cos^2\theta} +\sqrt{5-2\sqrt{3}\cos\theta + \cos^2\theta+ 4\sin^2\theta}$的最大值為
\begin{tasks}(4)
\task $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
\task $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$
\task $\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
16.方程$\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}= 1$的實根個數為
\begin{tasks}(4)
\task $1$
\task $2$
\task $3$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
17.凸五邊形$ABCDE$的對角線$CE$分別與對角線$BD$和$AD$交於點$F$和$G$,已知$BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2:3$, $S_{\triangle CFD}$和$S_{\triangle ABE}$分別為$\triangle CFD$和$\triangle ABE$的面積,則$S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}$的值等於
\begin{tasks}(4)
\task $8:15$
\task $2:3$
\task $11:23$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
18.設$p,q$均為不超過$100$的正整數,則有有理根的多項式$f(x)=x^5+px+q$的個數為
\begin{tasks}(4)
\task $99$
\task $133$
\task $150$
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
19.滿足對任意$n\geq 1$有$a_{n+1}=2^n-3a_n$且嚴格遞增的數列$\{a_n\}_{n\geq 1}$的個數為
\begin{tasks}(4)
\task $0$
\task $1$
\task 無窮多個
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}
20.設函數$f(x,y,z)=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$,其中$x,y,z$均為正實數,則有
\begin{tasks}(2)
\task $f$既有最大值也有最小值
\task $f$有最大值但無最小值
\task $f$有最小值但無最大值
\task 前三個答案都不對
\end{tasks}