1.證明題(30分,每小題15分)
(1) 若$f(x)$在實軸上可導且$f'(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,則$f(x)$至多有一個零點.
(2) 若$f(x)$處處二階可導且$f''(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,則$f(x)$至多有兩個零點.
2.(30分)假設$\phi(x,y,z)$是原點$O$某個鄰域上$C^\infty$函數,且$\phi,\phi_x,\phi_y, \phi_{xz},\phi_{yz}$在$O$點為$0$, $\phi_{xx},\phi_{yy}$在$O$點為$1$, $\phi_{xy}(O)=\frac12,\phi_{z}(O)=-\frac12$. $\phi(x,y,z)=0$的隱函數記為$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).請討論$z=z(x,y)$在$(0,0)$點附近的極 值問題.
3.(40分)設$z=z(x,y)$是題2中的隱函數, $\Omega_\delta$是$(0,0)$點的$\delta$鄰域,當$\delta$充分小時,證明如下極限存在並求之\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t\iint_{{\Omega _\delta }} {{e^{ - tz\left( {x,y} \right)}}\,dxdy} .\]
4.(20分)設$A$是一個$2$階復方陣.考慮$2$階復方陣的線性空間$M_2(\mathbb C)$上的線性變換
\[\phi_A:M_2(\mathbb C)\to M_2(\mathbb C);X \mapsto AX-XA.\]試確定$\dim (\ker (\phi_A))$的所有可能的取值.
5.（30分）對於有理數域$\mathbb Q$上的兩個$n$階方陣
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1& \cdots &1\\0&0& \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &1\\0& \cdots &0&0\end{array}} \right),\quad \text{和}\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0& \cdots &0\\1&0& \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &0\\1& \cdots &1&0\end{array}} \right).\]
試證明兩者是相似的,並求出一個矩陣$T$,使得$A=T^{-1}BT$.
6.(20分) $\mathbb R[x]$中有多項式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.試用系數$a_1,a_2,a_3,a_4$的關系式,給出$f(x)$能表達成某個不可約二次多項式$g(x)$之平方的充分必要條件.
7.(30分)歐氏平面上保定向的等距變換群的一個子群$G$,其中每一個非恆同的變換$g$都沒有不動點,而且每一個平面上的點$p$在群$G$作用下 得到的軌道(即點集$\{g(p)|g\in G\}$)若平面上都沒有聚點.試證明$G$可以由一個或兩個平移變換生成,即$G=\{n\alpha|n\in\mathbb Z\}$或$G=\{n\alpha+m\beta|n,m\in\mathbb Z\}$,其中$\mathbb Z$為整數集, $n,m$為任意整數, $\alpha,\beta$為線性無關的平移向量(也表示其對應的平移變換). $n\alpha+m\beta$即對應線性組合所表示的平移.
轉自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=36026
