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2016年9月17日，國科大舉行碩轉博公共基礎課考試，試題分三個方向，考試滿90分才算合格！
分析
一、 求\[I=\int_0^{2\pi} \frac1{a+\cos\theta}d \theta,\quad a>1.\]
二、 設復變函數$f(z)$為整函數,且存在正整數$n$以及常數$R>0,M>0$,使得當$|z|>R$時,有$|f(z)|\leq M|z|^n$.試證明: $f(z)$是一個至多$n$次的多項式或一常數.
三、 陳述Lebesgue控制收斂定理並證明\[\lim_{n\to+\infty}\int_0^\infty\frac{\ln (x+n)}ne^{-x}\cos xd x=0.\]
四、 陳述開映射定理並證明:設$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是線性空間$X$上的兩種范數,且使得$(X,\|\cdot\|_1)$和$(X,\|\cdot\|_2)$都是完備的.若存在常數$a>0$使得對任意$x\in X$,有$\|x\|_2\leq a\|x\|_1$,則一定存在常數$b>0$,使得對任意$x\in X$,有$\|x\|_1\leq b\|x\|_2$.
代數
一、 設$a$和$b$是群$G$的元素,階數分別為$m$和$n$, $(m,n)=1$且$ab=ba$.證明$ab$的階為$mn$.
二、 設$S_n$是$\{1,2,\cdots,n\}$上的$n$次對稱群.證明:
1) $S=\{\sigma|\sigma\in S_n,\sigma (1)=1\}$是$S_n$的子群;
2) $\{(1),(1,2),(1,3),\cdots,(1,n)\}$組成$S$在$S_n$中的一個左陪集代表元素.
三、 設群$G$作用在集合$X$上.記$n$為$X$在$G$作用下的軌道個數,對任意$a\in X$,記$\Omega_a=\{ga|g\in G\}$是$a$所在的軌道, $Ga=\{g\in G|ga=a\}$為$a$的固定子群.對任意$g\in G$,記$f(g)$為$X$在$g$作用下的不動點個數.證明:
1) $b\in\Omega_a\Leftrightarrow \Omega_a=\Omega_b$;
2) 對任意$g\in G$,有$G_{ga}=gG_ag^{-1}$;
3) $\sum_{g\in G}f(g)=n|G|$.
四、 設$R,S$是環, $f:R\to S$是環的同態.證明同態核$\ker f$是環$R$的理想,並且映射
\begin{align*}F:R/\ker f&\to S\\\overline r&\mapsto f(r)\end{align*}
是環的單同態,特別地: $F:R/\ker f\to \mathrm{Im} f$是環的同構.
五、 證明多項式$x^2+x+1$與$x^3+x+1$在$\mathbb{Z}_2$上不可約,並求出有限域$\mathbb{Z}_2$上的全部三次不可約多項式.
幾何拓撲
一、 在實數集$\mathbb{R}$上定義一個拓撲,使其包含$(0,2)$與$(1,3)$,且包含盡可能少的開集.
二、 設$X$是一個拓撲空間, $A$與$B$是$X$的子集, $\overline A$與$\overline B$分別為$A$與$B$的閉包.證明若$A\subset B$,則$\overline A\subset \overline B$.
三、 設$\{X_n\}$是具有標准拓撲的實數集$\mathbb{R}$中的數列,其中$x_n=\frac{(-1)^n}n$.
1) 證明每個含$0$的鄰域都包含某個開區間$(-a,a)$;
2) 對任意的$a>0$,存在$N\in \mathbb{Z}^+$,使得當$n\geq N$時,有$x_n\in (-a,a)$.
四、 求$E^3$中曲線$r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$的曲率和撓率,其中$a$和$b$是不為$0$的常數.
五、求$E^3$中曲面$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$的高斯曲率和平均曲率.
一、（50分）簡述以下概念和原理：
(1) 對偶原理；
(2) 分離性原理；
(3) 最小實現；
(4) 平衡點；
(5) 漸進穩定性。
二、（20分）判斷下述系統是否能控：
\[\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&0&0\\0&{ - 1}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\{ - 1}\end{array}} \right]u.\]
三、（20分）判斷下述系統是否能觀測：
\[\left\{ \begin{array}{l}\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\{ - 2}&{ - 4}&{ - 3}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]u,\\y = cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&4&2\end{array}} \right]x.\end{array} \right.\]
四、（20分）判斷下述系統的穩定性：
\[\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = - {x_1}.\end{array} \right.\]
五、（20分）證明線性系統能觀測性在輸出反饋下保持不變。
六、（20分）設開區域$D$滿足$0\in D\subset \mathbb{R}^n$。考慮系統$$\dot x=f(x),$$其中$f:D\to \mathbb{R}^n$是局部李普希茲函數，並且$f(0)=0$。如果存在連續可微函數$V:D\to \mathbb{R}$滿足
(i) 當$x\in D-\{0\}$時$V(x)>0$，且$V(0)=0$,
(ii) $\dot V(x)\leq 0,x\in D$,
證明$x=0$穩定。
一、（15分）數列$\{a_n\}$滿足關系式$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},a_1>0$.求證$\lim_{n\to\infty} n(a_n-n)$存在.
二、（15分）設$f(x)$在$(a,b)$內二次可導,且存在常數$\alpha,\beta$,使得對於$\forall x\in (a,b)$
$$f'(x)=\alpha f(x)+\beta f''(x),$$則$f(x)$在$(a,b)$內無窮次可導.
三、（15分）求冪級數$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$的收斂域與和函數.
四、（15分）設$f(x)$是$\mathbb{R}$上有下界或者有上界的連續函數且存在正數$a$使得$$f(x)+a\int_{x-1}^x f(t) dt$$為常數.求證: $f(x)$必為常數.
五、（15分）設$f(x,y)$在$x^2+y^2\leq 1$上有連續的二階偏導數, $f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2\leq M$.若$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$,證明$$\left |\iint_{x^2+y^2\leq 1}f(x,y)dxdy\right |\leq \frac{\pi\sqrt{M}}4. $$
六、（15分）已知\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right),\]求$A^{2016}$.
七、（15分）已知\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right),\]而$A^n=\alpha_nI+\beta_n A$.求$\alpha_n,\beta_n$.
八、 （15分）在$\mathbb{R}^4$中,$$\alpha=(1,1,-1,1),\beta=(1,-1,1,1),\gamma=(1,0,1,1),M=(\alpha,\beta,\gamma),$$求$M^\bot$的一組標准正交基.（數據忘記了）
九、（15分）已知線性空間$M=\{(x,y)|x-2y+z=0\}$,求$u=(1,2,3)'$在$M$上的正交投影.
十、 （15分）設$u,v\in \mathbb{R}^n$,若$u'u=v'v$,證明存在$n$階正交矩陣$Q$,使得$Qu=v,Qv=u$.