2016年4月
一、i)設$D$為$\mathbb{R}^n$上的一個區域$f:D\to \mathbb{R}^n$為連續可微映射.試敘述關於映射$f$的逆映射定理(包括條件和結論).
ii)試利用逆映射定理證明不存在從$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的連續可微的單射.
二、給定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量場
\[\overrightarrow v = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]
記$\overrightarrow n$為$\mathbb{R}^3$中的單位球面$S^2$的單位外法向量場.試求積分
\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]
三、設定義在$\mathbb{R}$上周期為$2\pi$的函數$f$在區間$(-\pi,\pi]$上的取值為$f(x)=x$.
i)試給出其Fourier級數,求出Fourier級數的和函數,並說明此級數是否在$\mathbb R$上一致收斂.
ii)試利用上述Fourier級數及Parseval等式求級數$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.
四、設$f(x)$在單位圓盤$|z|<1$上解析,滿足$|f(z)|<1$,並且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.
1.試證明當$|z|<1$時成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha z}}} \right|.\]
2.試給出上面的不等式中等號成立的充要條件.
五、給定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$為其特征多項式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一個整除$f(x)$的$n-1$次多項式.求$g(A)$可能的秩,並說明理由.
六、設$V$是復數域上的$n$維線性空間, $\sigma$為$V$上的一冪幺變換(即:存在正整數$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恆等變換).設$W$為$V$的$\sigma-$不變子空間.證明$V$中存在$\sigma-$不變子空間$W'$使 得$V=W\oplus W'$.
轉自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=36021