數學分析 (三選二)
1. 計算 $$\bex \int \frac{1}{1+\sin x}\rd x,\quad \iint_{x^2+4y^2\leq 2x} \sqrt{1-x^2-4y^2}\rd x\rd y. \eex$$
2. 設 $\sed{a_n}$ 為單調遞增正數列, 試證: $$\bex \vsm{n}\sex{\frac{a_{n+1}}{a_n}-1}\mbox{ 收斂 }\lra \sed{a_n} \mbox{ 有界}. \eex$$
3.
(1). 對任給的實數 $x$ 及正整數 $N>1$, 存在整數 $p,q:\ 0<q<N$, 使得 $$\bex |qx-p|<\frac{1}{N}. \eex$$
(2). 若 $x$ 為無理數, 則存在無窮多個有理數 $p/q\ (q>0)$, 使得 $$\bex \sev{x-\frac{p}{q}}<\frac{1}{q^2}. \eex$$
線性代數 (三選二)
1. 設 $V$ 是一個有限維線性空間, $U,W$ 均為 $V$ 的子空間. 試證: 存在 $V$ 的一組基 $B$, 使得 $B\cap W$ 為 $W$ 的一組基, $B\cap U$ 為 $U$ 的一組基.
2. 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 且不可對角化. 試證: 存在方陣 $B$ 使得 $$\bex AB=BA,\quad B^n=0. \eex$$
3. 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 且有 $n$ 個兩兩不同的特征值, 對於 $$\bex \ba{rl} \scrA:\ M_n(\bbC)&\to M_n(\bbC)\\ X&\mapsto AX-XA, \ea \eex$$ 試證: $\scrA$ 可對角化, 並求 $\scrA$ 的秩.
復變函數 (三選二)
1. 設 $n\in\bbN^+$, 試求 $$\bex \frac{\p |z|^n}{\p \bar z}. \eex$$
2. 證明或否定: $$\bex \frac{\sin z}{z^p} \eex$$ 在 $\bbC\bs\sed{0}$ 上有原函數 $\lra p$ 為奇數.
3. 證明或否定: $$\bex \vsm{n}\sin (z^n) \eex$$ 在單位圓內絕對且內閉一致收斂.