說明:
1. 大部分是自己做的, 少部分是參考文獻做的, 還有幾個直接給出參考文獻.
2. 如果您有啥好的想法, 好的解答, 熱切地歡迎您告知我, 或者在相應的習題解答網頁上回復. 哪里有錯誤, 也盼望您指出.
3. 畢竟大學時學過高等代數, 想多學點矩陣論的東西 (matrix=magic), 就先選這本書看看了.
目錄
第一章 預備知識
第二章 張量積與復合矩陣
第三章 Hermite 矩陣與優超關系
第四章 奇異值和酉不變范數
第五章 矩陣擾動
第六章 非負矩陣
第七章 符號模式
第八章 矩陣的應用
1. 設 $a_1,\cdots,a_n$ 為正實數, 證明矩陣 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.
2. (Oldenburgere) 設 $A\in M_n$, $\rho(A)$ 表示 $A$ 的譜半徑, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 證明: $$\bex \vlm{k}A^k=0\lra \rho(A)<1. \eex$$
3. 證明數值半徑 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一個范數.
4. 證明數值半徑 $w(\cdot)$ 和譜范數 $\sen{\cdot}_\infty$ 滿足如下關系: $$\bex \frac{1}{2}\sen{A}_{\infty} \leq w(A)\leq \sen{A}_\infty,\quad A\in M_n. \eex$$
5. (Gelfand) 設 $A\in M_n$, 證明: $$\bex \rho(A)=\vlm{k}\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}. \eex$$
6. 設 $A\in M_{m,n}$, $B\in M_{n,m}$. 證明: $$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$$ 相似, 從而給出定理 1.14 的另一個證明.
7. 設 $A_j\in M_n$, $j=1,\cdots,m$, $m>n$, 且 $\dps{\sum_{j=1}^m A_j}$ 非奇異 (即可逆). 證明: 存在 $S\subset \sed{1,2,\cdots,m}$ 滿足 $|S|\leq n$ 且 $\dps{\sum_{j\in S}A_j}$ 非奇異.
8. 證明任何一個復方陣都酉相似於某個對角元素全部相等的矩陣.
9. 證明對任意的復方陣 $A$, $$\bex \rho(A)\leq w(A)\leq \sen{A}_\infty. \eex$$
10. 矩陣 $A=(a_{ij})\in M_n$ 稱為嚴格對角占優, 如果 $$\bex |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 證明: 嚴格對角占優矩陣是可逆的.
11. (Gersgorin 圓盤定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 記 $$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 證明: $$\bex \sigma(A)\subset \cup_{i=1}^n D_i, \eex$$ 並且如果這些圓盤 $D_i$ 中有 $k$ 個與其余的 $n-k$ 個不相交, 則這 $k$ 個圓盤的並集恰好含有 $A$ 的 $k$ 個特征值.
12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 設 $A\in M_n$, $B,C\in M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是單位陣. 證明 $A+BC^*$ 可逆且 $$\bex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}. \eex$$
13. (Li-Poon) 證明: 每個實方陣都可以寫成 $4$ 個實正交矩陣的線性組合, 即若 $A$ 是個實方陣, 則存在實正交矩陣 $Q_i$ 和實數 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$\bex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4. \eex$$
14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某個固定的模式將 $M_n$ 中的每個矩陣的元素重排, 則稱 $f$ 為一個置換算子. 怎樣的置換算子保持矩陣的特征值不變? 保持秩不變?
1. 對於怎樣的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$?
2. 給出定理 2.4 的另一個證明.
3. 設 $A,B\in M_n$, $A$ 正定, $B$ 半正定且對角元素都是正數, 則 $A\circ B$ 正定.
4. 設 $A=\diag(A_1,\cdots,A_k)\in M_n$, 其中 $A_i\in M_{n_i}$, 且 $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$, $i\neq j$. 若 $B\in M_n$ 且 $AB=BA$, 則 $B=\diag(B_1,\cdots,B_k)\in M_n$, 其中 $B_i\in M_{n_i}$.
5. 設 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $C\in M_{m,n}$. 若 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$, 則 $$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex$$
6. (Embry) 我們說兩個矩陣 $X$, $Y$ 可交換是指乘法可交換, 即 $XY=YX$. 設 $A,B\in M_n$ 滿足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 與 $A+B$ 可交換並且 $C$ 與 $AB$ 可交換, 則 $C$ 與 $A$ 和 $B$ 都可交換.
7. (Marcus-Ree) 一個非負矩陣稱為是雙隨機的, 若它的每行元素之和等於 $1$, 且它的每列元素之和也等於 $1$. 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階雙隨機矩陣, 則存在 $1,2,\cdots,n$ 的一個排列 $\sigma$ 使得對每個 $i=1,\cdots,n$, $$\bex a_{i\sigma(i)}\geq \sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{k(k+1)},&n=2k,\\ \cfrac{1}{(k+1)^2},&n=2k+1. \ea} \eex$$
8. 設 $k\leq m\leq n$. 怎樣的矩陣 $A\in M_{m,n}$ 的每條對角線恰好含有 $k$ 個零元素?
9. 記 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 復合矩陣映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是單射嗎? 是滿射嗎?
1. 設 $A\in M_n$. 證明若 $AA^*=A^2$, 則 $A^*=A$.
2. 設 $A\in M_n$, $B\in M_{r,t}$ 是 $A$ 的一個子矩陣. 則它們的奇異值滿足 $$\bex s_j(B)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,\min\sed{r,t}. \eex$$
3. (Aronszajn) 設 $$\bex C=\sex{\ba{cc} A&X\\ X^*&B \ea} \eex$$ 為 Hermite 矩陣, $C\in M_n$, $A\in M_k$. 設 $A,B,C$ 的特征值分別為 $\al_1\geq \cdots\geq \al_k$, $\beta_1\geq \cdots \beta_{n-k}$, $\gamma_1\geq \cdots\geq \gamma_n$. 則對於滿足 $i+j-1\leq n$ 的任意的 $i,j$, $$\bex \gamma_{i+j-1}+\gamma_n\leq \al_i+\beta_j. \eex$$
4. 設 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是遞減的. 證明:
(1). 若 $x\prec y$ 則 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.
(2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 則 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.
5. 不用 Weierstrass 定理, 直接證明 Hermite 矩陣的函數運算 (3.6) 與特定的譜分解無關.
6. 設 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩陣, $B$ 是 Hermite 矩陣. 則 $$\bex A+B\mbox{ 正定當且僅當 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n. \eex$$
7. 設 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 則 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.
8. 證明每個半正定矩陣都有唯一的半正定平方根, 即若 $A\geq 0$, 則存在唯一的 $B\geq 0$ 滿足 $B^2=A$.
9. 用公式 $$\bex t^r=\frac{\sin r\pi}{\pi}\int_0^\infty \frac{s^{r-1}t}{s+t}\rd s\quad \sex{0<r<1} \eex$$ 證明定理 3.24.
10. 設 $A,B$ 是同階半正定矩陣, $0\leq s\leq 1$. 證明: $$\bex \sen{A^sB^s}_\infty \leq \sen{AB}_\infty^s. \eex$$
11. (Ky Fan) 對於 $A\in M_n$, 記 $\Re A=(A+A^*)/2$. 證明: $$\bex \Re \lm(A)\prec \lm(\Re A), \eex$$ 其中 $\lm(A)$ 表示 $A$ 的特征值作成的向量, $\Re\lm(A)$ 表取 $A$ 的特征值的實部所得向量.
12. (Webster) 設 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 個正元素的 $n$ 階雙隨機矩陣. 證明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一個排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}\leq k. \eex$$
13. (Caylay 變換) 記 $i=\sqrt{-1}$. 若 $A$ 為 Hermite 矩陣, 則 $$\bex \phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} \eex$$ 是一個酉矩陣.
14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 證明下面的不等式 (也稱為 Hadamard 不等式): 設 $A=(a_1,\cdots,a_n)\in M_n$, 則 $$\bex |\det A|\leq \prod_{i=1}^n \sen{a_i}, \eex$$ 其中 $\sen{\cdot}$ 表示列向量的歐氏范數.
15. 設 $S_n[a,b]$ 表示所有元素屬於給定的區間 $[a,b]$ 的 $n$ 階實對稱矩陣的集合. 對於 $j=1,n$ 確定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分別取到最大值和最小值的矩陣.
1. (Fan-Hoffman). 設 $A\in M_n$, 記 $\Re A=(A+A^*)/2$. 則 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$
2. (Thompson). 設 $A,B\in M_n$, 則存在酉矩陣 $U, V\in M_n$ 滿足 $$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$$
3. $G\in M_n$ 稱為一個秩 $k$ 部分等距矩陣, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 證明對 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\max\sed{|\tr(XG)|; G\mbox{ 是個秩 }k\mbox{ 部分等距矩陣, }G\in M_n}. \eex$$ 再用這個表達式證明定理 4.9.
4. 設 $A=(a_{ij})\in M_n$, 則 $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$
5. 設 $A,B\in M_n$, 則 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$
6. 設 $A,B\in M_n$ 半正定, 則 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex$$
7. 設 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 則 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j<\tr A_0^{-1}. \eex$$
8. 設 $p,q$ 為正實數, 滿足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 設 $x,y\in \bbR^n_+$, 則對 $\bbR^n$ 上的任何對稱規度函數 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x^p)]^\frac{1}{p} [\varphi(y^q)]^\frac{1}{q}, \eex$$ 其中 $x^p$ 表示將 $x$ 的每個分量取 $p$ 次方所得的向量.
9. 設 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不變范數, 則 $\sen{\cdot}$ 是次可乘當且僅當 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$
10. 設 $A,B\in M_n$ 並且 $AB$ 為 Hermite 矩陣, 則對任何酉不變范數 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$
11. $M_n$ 上的范數 $\sen{\cdot}$ 稱為是對稱的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n. \eex$$ 證明: $\sen{\cdot}$ 對稱當且僅當 $\sen{\cdot}$ 是酉不變的.
12. 設 $p,q$ 為正實數, 滿足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 則對 $A,B\in M_n$ 和酉不變范數有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}. \eex$$
13. (Bhatia-Davis) 設 $A,B,X\in M_n$, 則 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 對任何酉不變范數成立.
14. 設 $A,B\in M_n$, 則對 $M_n$ 上的任何酉不變范數有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}. \eex$$
15. (Fan-Hoffman) 設 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 為 Hermite 矩陣, 則 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 對任何酉不變范數成立.
16. (Fan-Hoffman) 設 $A\in M_n$, $A=UP$ 為極分解, $U$ 為酉矩陣, $P$ 為半正定矩陣. 若 $W\in M_n$ 為酉矩陣, 則 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 對任何酉不變范數成立.
17. (Ando-Zhan) 設 $A,B\in M_n$ 半正定, $\sen{\cdot}$ 是一個酉不變范數, 則 $$\bex \sen{(A+B)^r}\leq \sen{A^r+B^r},\quad (0<r\leq 1), \eex$$ $$\bex \sen{(A+B)^r}\geq \sen{A^r+B^r},\quad (1\leq r<\infty). \eex$$
1. $A\in M_n$ 稱為正交投影矩陣如果 $A$ 是 Hermite 矩陣且冪等: $$\bex A^*=A=A^2. \eex$$ 證明: 若 $A,B\in M_n$ 為正交投影矩陣, 則 $\sen{A-B}_\infty \leq 1$.
2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空間: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 設 $A,B\in M_n$ 為正交投影矩陣, 滿足 $$\bex \sen{A-B}_\infty<1. \eex$$ 證明: $$\bex \dim \im A=\dim \im B. \eex$$
3. (Bhatia-Davis) 設 $A,B\in M_n$ 為酉矩陣, 則 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$
4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T. \eex$$ 再令 $$\bex A=\diag(\lm_1,\lm_2,\lm_3),\quad U=I-2vv^T,\quad B=-U^*AU, \eex$$ 則 $U$ 為酉矩陣, $A,B$ 為正規矩陣. 驗證 $$\bex \rd (\sigma(A),\sigma(B))=\sqrt{\frac{28}{13}},\quad \sen{A-B}_\infty =\sqrt{\frac{27}{13}}. \eex$$ 於是, 對於這一對正規矩陣 $A,B$, $$\bex \rd (\sigma(A)),\sigma(B))>\sen{A-B}_\infty. \eex$$
5. (Friedland) 給定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 證明: 存在對角矩陣 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 並且滿足上述條件的對角矩陣 $D$ 只有有限多個.
1. 怎樣的非負矩陣可逆並且其逆也非負?
2. 設 $A$ 是個非負方陣且存在一個正整數 $p$ 使得 $A^p>0$, 則對所有正整數 $q\geq p$, $A^q>0$.
3. 設 $\lm$ 是一個復數. 證明: 存在非負方陣 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一個特征值.
4. 設 $A$ 是個不可約非負方陣, $0\leq t\leq 1$, 則 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$
5. (Levinger, 1970) 設 $A$ 是個不可約非負方陣, 則函數 $$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上遞增, 在 $[1/2,1]$ 上遞減.
6. 設 $A$ 是個非負本原方陣, 則 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分別是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 滿足 $xy^T=1$.
7. 設 $A$ 是個非負冪零矩陣, 即存在正整數 $p$ 使得 $A^p=0$. 則 $A$ 置換相似於一個上三角矩陣.
8. 設 $A$ 是個不可約奇異 $M$-矩陣, 則存在正向量 $x$ 滿足 $Ax=0$.
9. (Hopf) 將 $n$ 階正矩陣 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模從大到小排列為 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 並記 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}. \eex$$ 則 $$\bex \frac{|\lm_2|}{\rho(A)}\leq \frac{\al-\beta}{\al+\beta}. \eex$$
10. 非本原指標為 $k$ 的 $n$ 階不可約非負矩陣的正元素的個數可能是哪些數呢?
11. (Gasca-Pena) 一個 $n$ 階可逆矩陣 $A$ 是全面非負的當且僅當對每個 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad \det A[1,2,\cdots,k\mid \al]\geq 0,\quad \forall\ \al\in Q_{k,n}. \eex$$
12. 設 $A$ 是個 $n$ 階振盪矩陣, 則 $A^{n-1}$ 是全面正矩陣.
13. (Sinkhorn) 設 $A$ 是一個方的正矩陣, 則存在對角元素為正數的兩個對角矩陣 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 為雙隨機矩陣 (doubly stochastic matrix).
14. (Shao) 設非負方陣 $A$ 具有 (6.22) 的形式並且 $A$ 沒有零行也沒有零列. 證明: $A$ 不可月且非本原指標為 $k$ 當且僅當乘積 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩陣.
15. (Hu-Li-Zhan) 秩為 $k$ 的 $n$ 階對稱 $0-1$ 矩陣中 $1$ 的個數可能是哪些數呢?
1. (Maybee) 設 $A$ 是一個樹符號模式. 證明:
(1). 若 $A$ 的每個簡單 $2$-圈都是正的, 則對於任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的實對角矩陣 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 為對稱矩陣.
(2). 若 $A$ 的每個對焦元素為 $0$ 且 $A$ 的每個 $2$-圈都是負的, 則對於任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的實對角矩陣 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 為反對稱矩陣.
2. 證明引理 7.13.
3. 一個 $n$ 階符號模式方陣 $A$ 稱為譜任意模式, 如果每個首一的 $n$ 次實多項式都是 $Q(A)$ 中某個矩陣的特征多項式. 研究譜任意模式.
4. 怎樣的符號模式要求所有特征值都互不相同呢?
5. 元素屬於 $\sed{0,*}$ 的矩陣稱為零模式矩陣. 設 $A$ 是零模式矩陣, 用 $Q_\bbF(A)$ 記元素屬於域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩陣的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 則 $b_{ij}=0$ 當且僅當 $a_{ij}=0$. 設 $\bbF$ 的元素不少於 $3$ 個. 證明: $Q_\bbF(A)$ 中的每個矩陣非奇異當且僅當 $A$ 置換等價於一個對角元素非零的上三角矩陣.
6. 舉例說明: 存在那樣的實方陣 $A$, $A$ 的零元素的個數大於 $A$ 的 Jordan 標准形的零元素的個數.
本章沒有習題.
