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又到了每年碩士推免生申請夏令營的時候了，在這里分享一下兩年前（突然感覺自己好老），申請的清華大學的推薦免試研究生過程中的一個數學建模題目和自己寫的一篇建模的文檔，得到了該大學導師的不錯的評價（有點吹牛逼）。雖然最后自己做了一個爭（you）議（qian）滿（kao）滿（lv）的決定，但是還是分享給大家，寫的不好不要罵我！輕噴！下面首先是題目，然后是我的論文吧！
界面檢測算法
一、背景
回聲測距儀可以檢測洞穴中液位的深度,其主要利用聲波回聲原理測量氣水界面距離洞口的精確距離。該動態液面距離的有效測量對許多生產活動和設備安全運行等具有重要意義。假設洞穴豎直向下延伸，洞穴中動態液面深度的測量使用回聲（測深）測量方法，即在洞口放一槍（高壓氣槍），形成的聲波向洞內傳播, 遇到液面后反射, 測得聲波的往返時間, 推算出液面深度。利用這種方法測距易受其他雜波干擾, 測量精度和深度受到了一定的限制。因此,人們為提高回波信號的信噪比，提出了很多方法處理回波信號如小波變換、硬件濾波、神經網絡等。
二、具體要求
1. 聲速在洞穴內傳播過程中是會發生變化的，請建立聲速在洞穴內傳播時隨溫度，氣體壓力的變化模型（假設洞穴內充的是氮氣）並利用Matlab程序進行模擬和仿真。假設液體界面位於洞口下方1010m左右深度，在洞口下方1000m處有一個回音標志物，它的深度位置已知，可以反射聲波作為距離洞口深度的標定參考，液面在回音標志物下方10m左右的位置，但精確的位置並不清楚，需要依靠回聲定位的方法檢測液面回波進行測量。第一步請首先推導建立聲音速度在井內變化的模型，並考慮如何有效利用這個唯一的回音標志物；
2. 液面反射的聲波信號到達接收端，其中也夾雜着大量噪聲，如何識別回音標志物的回波信號和分界液面的反射信號是一個模式識別和微弱信號檢測的問題。根據回波特性設計一套回波的識別和檢測算法，給出數學推導過程。
三、報告撰寫與提交
1. 將撰寫的研究報告、查找的參考文獻和編寫的Matlab程序打包，統一命名格式為：姓名+學校+專業+回聲信號檢測+聯系電話，所有材料提交到指定郵箱
2. 請於接收到題目一周之內完成文獻查閱和報告撰寫等工作。
界面檢測算法
摘要：回聲測距儀可以檢測洞穴中液位的深度,其主要是利用聲波回聲原理測量氣/水界面距離洞口的精確距離。該動態液面距離的有效測量對許多生產活動和設備安全運行等具有重要意義。以此為背景提出了兩個問題，聲速隨氣壓溫度變化的關系和微弱信號檢測分析。本文運用熱力學定律，Johannes van der Waals修正公式，語音信號短時時域處理等方法解決了這兩個問題。
關鍵詞：溫度 氣壓 聲速修正 回聲測距 模式識別 信號處理
Abstract：The echo ranger can test the depth of the liquid level in the cavern ,which mainly utilizes the acoustic echo principle to measure the gas / water interface from the hole of the exact distance. The effective measurement of dynamic liquid surface distance has important significance for many production activities and safe operation of equipment. Based on this background,two questions are raised, which relationship of sound velocity with air pressure, temperature and weak signal detection. In this paper, we use the laws of thermodynamics, Johannes van der Waals correction formula, speech signal short-time processing method to solve the two problems.
Key words: temperature, pressure, sound velocity correction, echo ranging, pattern recognition, signal processing.
目錄
引言：
回聲測距儀是利用聲波反射原理測量水深的儀器。在洞口放一槍，形成聲波向洞穴內部傳播，遇到液面后形成反射波返回洞口，在洞口測得聲波的往返時間就可得到液面距離洞口的深度。但在實際運用中，聲速受到環境中的各種因素（溫度、濕度、氣壓、氣體的成分）的影響，還有聲波信號易受環境中的雜波干擾，使測量的精度和深度受到限制。本文從聲速的導出公式出發，考慮到影響聲速的溫度和氣壓因素，建立聲速在氮氣中的隨溫度氣壓變化的模型。再運用該模型提出測深的算法。最后在數字信號處理的基礎上提出對回波信號進行處理，從而提取出測深算法所需的時間信息。
一、回聲測深原理
當聲波在介質中傳播時，由於傳播介質發生改變而發生反射現象，比如在空氣中傳播遇到液面時就會發生反射現象。回聲測深儀就是利用了聲波的反射原理來進行。所測得洞穴深度
與聲波在空氣中傳播速度
及傳播時間有關，即： 
。因為聲速在洞穴中的傳播過程是變化的，與溫度氣壓等有關，因此很難得到聲速在洞穴中的真實速度，無法得到真實的深度。故需建立聲速模型。而傳播時間則可通過測得回波信號時間獲得。
二、聲速模型
模型假設條件：
1、洞穴之內的環境條件只有氣壓和溫度變化（濕度等因素不考慮）。
-
洞穴是豎直向下的，不存在彎曲。
-
洞穴內部的氣體成分為純氮氣。
-
忽略聲音在傳播過程中因為被吸收而產生的速度變化。
-
洞穴內的溫度與深度的函數關系已知為
。
-
洞穴內部的氣壓與深度的函數關系已知為
。
對模型中用到的符號進行說明（如表1）。
符號
意義
R
普適氣體常數，8.314 J/（mol*K）
γ
氮氣的比熱容比，雙原子分子為1.41
T
環境溫度，（K）
M
氮氣摩爾質量
氣體等溫過程的彈性模數（
）
氣體絕熱過程的彈性模數（
）P
氣壓
密度
V
摩爾體積
c
聲速（m/s）
理想氣體中聲速（m/s）
修正后的聲速（m/s)
K
介質體積彈性模量
a
范德瓦爾斯修正數
b
范德瓦爾斯修正數
表1 符號說明表
引用參考文獻【1】中的氣體中聲速傳播的公式可以依照彈性波在連續介質中傳播速度來計算：
(1)在運用聲音在氣體中傳播的時更常用到式（2）
(2)我們假定（1）氣體中的聲波傳播是絕熱過程（2）聲音的傳播振幅無限小於是
（1）式可以寫成（3）式所示。
(3)其中
聲音傳播是絕熱過程，故滿足絕熱方程式（4）
（4）式（4）代入（2）中可得到聲速傳播拉普拉斯方程（5）
(5) 把洞穴中的氣體視為理想氣體時，根據理想氣體物態方程（6）
(6) 可得到理想氣體中的聲速如（7）式
(7) 實際氣體在壓強不太大，溫度不太低的情形下近似遵循理想氣體物態方程。當壓強比較大，溫度比較低時，氣體分子的數密度n將比較大，分子本身的大小和分子間的引力就不能忽略不計。這與理想氣體分子模型中的假設：把理想氣體分子看作是可忽略其本身大小和分子間引力的自由質點矛盾。本文選擇范德瓦爾斯首先導出的實際氣體物態方程對理想狀態下的聲速進行修正。
Johannes van der Waals公式：
(8) 得
(9) 在實際運用中
可以近似用
來代替，故可得公式(10)
(10) 代入(3)中可得到空氣中聲速的修正公式
(11)在氣體壓力為一個標准大氣壓（
）時聲速隨溫度變化（如表2）。氣體壓力為
時聲速隨溫度變化溫度（K）
理想氣體聲速m/s
修正氣體聲速m/s
差值m/s
300.0
354.4020
354.1890
0.2130
300.5
354.6972
354.4857
0.2115
301.0
354.9922
354.7822
0.2100
301.5
355.2869
355.0784
0.2086
302.0
355.5814
355.3743
0.2071
302.5
355.8756
355.6700
0.2056
303.0
356.1696
355.9654
0.2042
303.5
356.4634
355.2606
0.2027
304.0
356.7569
356.5556
0.2013
304.5
357.0501
356.8503
0.1999
305.0
357.3432
357.1447
0.1984
305.5
357.6359
357.4389
0.1970
306.0
357.9285
357.7329
0.1956
306.5
358.2208
358.0266
0.1942
307.0
358.5129
358.3201
0.1928
307.5
358.8047
358.6133
0.1914
308.0
359.0963
358.9063
0.1900
308.5
359.3876
359.1990
0.1886
309.0
359.6788
359.4915
0.1873
309.5
359.9696
359.7837
0.1859
310.0
360.2603
360.0757
0.1854
表2
所得到的曲線圖（如圖1）。
圖1標准大氣壓聲速—溫度變化曲線