1.$(15')$
\[x_1=x_2=1,x_n=x_{n-1}+x_{n-2}.\]
試用矩陣論方法給出$x_n$通項.
2.$(15')$
$\alpha,\beta$為歐氏空間$V$中兩個長度相等的向量.證明存在正交變換$A$使得$A\alpha=\beta$
3.$(10')$證明$n$階$\mathrm{Hermite}$矩陣$A$有$n$個實特征值(考慮重數).
4.$(20')$.$F$為數域
\[\alpha_1,\alpha_2\cdots \alpha_n,\beta_1,\beta_2,\cdots \beta_n\]
是$F^n$中$2n$個列向量.
用\[\left|\alpha_1,\cdots \alpha_n\right|\]表示以$\alpha_1,\alpha_2\cdots \alpha_n$為列向量的矩陣的行列式.證明下面的行列式等式
\[\left|\alpha_1,\cdots \alpha_n\right|\cdot \left|\beta_1,\cdots \beta_n\right|=\sum_{i=1}^n \left|\alpha_1,\cdots \alpha_{i-1},\beta_1,\alpha_{i+1},\cdots \alpha_n\right|\cdot \left|\alpha_i, \beta_2,\cdots \beta_n\right|\]
5.$(20')$
$F$為數域,$V$是$F$上$n$維線性空間.$A$是$V$上線性變換.證明存在唯一可對角化線性變換$A_1$,冪零線性變換$A_2$
使得
\[A=A_1+A_2,A_1A_2=A_2A_1\]
6.$(20')$
$F$為數域,$A,B,P\in M_n(F)$,$P$冪零且
\[(A-B)P=P(A-B),BP-PB=2(A-B)\]
求一個可逆矩陣$Q$使得$AQ=QB$.
7.$(15')$. $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面的充要條件為$\vec{a}\times \vec{b},
\vec{b}\times \vec{c},\vec{c}\times \vec{a}$共面
8.$(20')$空間中四點$O,A,B,C$使得
\[\angle AOB=\frac{\pi}{2},\angle BOC=\frac{\pi}{3},\angle COA=\frac{\pi}{4}\]
設$AOB$決定的平面為$\pi_1$,$BOC$決定的平面為$\pi_2$,求$\pi_1,\pi_2$二面角.求出二面角的余弦值即可.
9.$(15')$
$F$為單葉雙曲面,$\overrightarrow{n}$為給定非零向量.
則空間中所有與$\overrightarrow{n}$垂直的平面與$F$交線的對稱中心在一條直線上
轉自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37137