中國科學院大學2017年高等代數考研試題

中國科學院大學

 
2017 年招收攻讀碩士學位研究生入學統一考試試題
科目名稱：高等代數


考生須知：
1. 本試卷滿分為150 分，全部考試時間總計180 分鍾；
2. 所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。


1. (15分)證明:實系數多項式$f(x)$對所有實數$x$均有$f(x)\geq 0$,求證$f(x)$可以寫成兩實系數多項式的平方和$[g(x)]^2+[h(x)]^2$.

2. (15分) $f_i,i=1,\cdots,m,m<n$是$n$維線性空間$V$上$m$個線性函數,即$f_i(a\alpha+b\beta)=af_i(\alpha)+bf_i(\beta)$.證明存在一非零向量$\alpha\in V$,使得$f_i(\alpha)=0$.


3. (20分) 求\[
\left|\begin{matrix}
        1-a_1&                a_2&                &                &                \\
        -1&                1-a_2&                a_3&                &                \\
        &                \ddots&                \ddots&                \ddots&                \\
        &                &                \ddots&                \ddots&                a_n\\
        &                &                &                -1&                1-a_n\\
\end{matrix}\right|
.\]


4. (20分) $f(x)=x'Ax$是實二次型,存在$x_1\neq x_2$使得$f(x_1)+f(x_2)=0$,證明存在$x_3\neq 0$,成立$f(x_3)= 0$.


5. (15分) 已知$A$為$n$階冪等矩陣,即$A^2=A$.
(1) 證明$A$的Jordan標准型是$\left(\begin{matrix}
        E_r&                0\\
        0&                0\\
\end{matrix}\right)$,其中$r=\mathrm{r} (A)$;

(2) $\mathcal{R}(E_n-A)=\mathcal{N}(A)$,其中$\mathcal{R}(B)$是$B$的列向量張成的線性空間, $\mathcal{N}(B)$為$B$的解空間,即$\mathcal{N}(B)=\{x:Bx=0\}$.

6.  (15分) 已知$A$為$n$階可逆的反對稱矩陣, $B=\left(\begin{matrix}
        A&                v\\
        v'&                0\\
\end{matrix}\right)$,其中$v$為$n$維列向量,求$\\mathrm{r}(B)$.

7. (15分)設\[
\left(\begin{array}{c}
        x_{3n}\\
        x_{3n+1}\\
        x_{3n+2}\\
\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}
        3&                -2&                1\\
        4&                -1&                0\\
        4&                -3&                2\\
\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}
        x_{3n-3}\\
        x_{3n-2}\\
        x_{3n-1}\\
\end{array}\right)
.\]給定初值$a_0=5,a_1=7,a_2=8$,求$x_n$的通項.

8. (18分) $n$維線性空間$V$有兩子空間$U_1$和$U_2$,維數$\dim U_1\leq m,\dim U_2\leq m,m<n$.證明$V$中存在子空間$W$,且$\dim W=n- m$,滿足$W\cap U_1=W\cap U_2=\{0\}$.


9. (17分)設$A$是$n$階實對稱矩陣,且\[
A=\left(\begin{matrix}
        a_1&                b_1&                &                &                \\
        b_1&                a_2&                b_2&                &                \\
        &                b_2&                \ddots&                \ddots&                \\
        &                &                \ddots&                \ddots&                b_{n-1}\\
        &                &                &                b_{n-1}&                a_n\\
\end{matrix}\right)
.\]

(1) 證明$\mathrm{r} (A)\geq n-1$;

(2) 證明$A$的特征值各不相同.

 

轉自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37139