多項式擬合

來源：同登科 《計算方法》 中國石油大學出版社 P106

  *何為擬合？

　 從給定的函數表出發，尋找一個簡單合理的函數近似表達式來擬合給定的一組數據。

   這里所說的“擬合”,即不要所作的曲線完全通過所有的Σ數據點，只要求所得的近似曲線能反映數據的基本趨勢。數據擬合在實際中有廣泛的應用。

   它的實質是離散情況下的最小平方趨近，基本思想和處理方法也具有相似性。其幾何解釋是：求一條曲線，使數據點均在離此曲線的上方或下方不遠處。

 

 *多項式擬合

　　設由實驗測得函數y=f(x)在n個點x₁ ,x₂,...,x_n的值為y₁,y₂,...,y_n,要求這個函數的一個近似表達式。我們用一個次數低於n-1(m<n-1)的多項式φ_m(x)來擬合它，設

　　　　　　　　　　　　　　　　φ_m(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m        (m < n -1)        　　　　　　　　　　　    　(1)

　　用最小二乘來確定系數a₀，a_1，…，a_m，令

　　　　　　　　　　　　　　　　Q(a₀,a₁,...,a_m)  = ∑ⁿ_i=1(φ_m(x)-y_i)²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = ∑ⁿ_i=1(a0+a₁x_i+a₂x²_i+...+a_mx^m_i-y_i)²

　　選a₀,a₁,...,a_m，使Q(a₀,a₁,...,a_m)達到最小，將Q對a_k求偏導數，並令其等於零，有

 

 

                  

 

    或

　　　　　　　　　　        　　　　　　　　　　　　　　　    　（2）

   寫成矩陣形式為

          　　　　　  （3）

   上述方程組就稱為多項式擬合的正規方程組，其系數陣為一對稱矩陣，計算時只須將下列一些和式求出即可：。若（3）式的系數行列式不等於零，則由（3）式可以唯一地確定系數a₀,a₁,...,a_m.

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例  已知函數表如下

xi	1	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	2	7	8	10	11	11	10	9	8

   試用二次多項式曲線來擬合這組數據。

解： 設二次多項式為φ(x) = a₀+a₁x+a₂x²,為了得到正規方程組，必須先算出以下各和：

　　　　　　　　　　　　

列表如下：

　　　　　　　　　　　　

由上表得正規方程組為

　　　　　　　　          

求解得  a₀=-1.4597,a₁=3.605,a₂=-0.2676,

    故φ(x)=-1.4597+3.6053x-0.2676x².