1. 多項式環
1.1 基本定義和性質
多項式是數學中的重要概念，在分析和代數中都有廣泛的應用，線性變換也非常依賴多項式的理論。雖然在不同場景下多項式描述的對象有較大差異，但它們卻有着類似的代數結構，這里就從純代數的角度討論多項式的結構和性質。以下我會花較多口舌定義什么是多項式，這種看似“學究”的做法其實正是數學的抽象性和嚴密性所在。
先來看多項式的組成元素“（一元）項”，它具有形式\(ax^n\)，其中\(n\)是一個非負整數，它表示項的次數，\(a\)是某個環\(R\)或域\(F\)的元素，被稱為系數，\(x\)是不定元。要特別強調的是，這里並沒有定義項的實際意義，不定元可能是任何滿足條件的數學概念。\(a\)和\(x^n\)之間也不能看成是某個具體的乘法，這里只是一個書寫格式，項永遠是作為一個整體看待的。系數為\(0\)的項被定義為互相相等的，而其它項相等的充要條件是系數和次數都相等。
另外，在項之間還定義有如式（1）的加法和乘法，且乘法對加法滿足分配率。有了這些准備就可以定義多項式了，一個環\(R\)上的（一元）多項式是有限個非零項之和，它的最終形式是式（2）。為了敘述方便，\(0\)次項被直接寫做\(a_0\)，但不要忘了其實際意義\(a_0x^0\)。系數非零的最高次項也稱多項式的首項，而\(n\)也叫\(f(x)\)的次數，記作\(\deg f(x)\)。由項的定義不難斷定：多項式由它的系數序列\((a_0,a_1,\cdots,a_n)\)唯一確定。環\(R\)上的所有一元多項式集合記做\(R[x]\)，不難證明在乘法和加法的定義下，\(R[x]\)構成一個環（\(0\)系數的項為零元，當\(R\)有單位元時\(x^0\)也為單位元），它叫多項式環。
\[ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}\]
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2}\]
其實在《抽象代數》中，我們已經專門討論過多項式的性質，故對那些已經論述過的結論，這里就不重復證明過程了。《高等代數》中的多項式是直接定義在數域上的，但其實很多結論在較弱的條件下仍然成立，下面做一些總結（很多結論直接來自抽象代數）。首先不難證明：\(R[x]\)為交換環（無零因子環、整環）的充要條件是\(R\)為交換環（無零因子環、整環），特別地，域\(F\)上的多項式環\(F[x]\)是一個含幺整環（有單位元、可交換、無零因子）。另外我們知道，一個環可以擴充為域的充要條件是：它是一個含幺整環。故系數為含幺整環的多項式環都能擴充為一個域，其中數域系數多項式的最小擴充域叫分式域。分式域的每個元素有形式\(f(x)g^{-1}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)，其中\(g(x)\)是非零多項式。在一般數域下，且\(g^{-1}(x)\)都是新添加的元素，如果要想\(g^{-1}(x)\)仍然是一個多項式，可以添加一個條件：存在某個不可約多項式\(e(x)=0\)（請自行討論）。
1.2 因式和分解
和其它環結構一樣，對多項式的討論也集中在其乘法分解，以下先把\(R[x]\)限定在一般的環上。如果有關系式\(f(x)=g(x)h(x)\)，則稱\(g(x)\)為\(f(x)\)的因式，記作\(g(x)|f(x)\)，多項式的乘法分解其實就是因式分解。當\(f(x),g(x)\)次數相等時，且有\(f(x)=ag(x)\)，這時稱它們是相伴的。這種分解討論起來沒有多大意義，以后我們只討論因式次數比\(f(x)\)低的分解。如果兩個多項式\(f(x),g(x)\)有共同的因式\(h(x)\)，則\(h(x)\)稱為\(f(x),g(x)\)的公因式，次數最高的公因式則叫最大公因式，記作\((f(x),g(x))\)。后面要回答的問題自然就是：因式、分解式、（最大）公因式的存在性，以及分解式、最大公因式的唯一性（在相伴意義下）。
對任意多項式\(f(x),g(x)\)，如果\(g(x)\)的首項系數為可逆元，用歸納法可以證明，存在唯一多項式\(q(x),r(x)\)使得式（3）成立。這個式子說明，如果\(f(x),g(x)\)有公因式\(h(x)\)，那么\(h(x)\)也是余項\(r(x)\)的公因式，並且\(r(x)\)的次數比\(g(x)\)小。如果在把多項式限定在域上，把\(g(x),r(x)\)換成\(f_1(x),g_1(x)\)后可以繼續這個過程，直至\(g_i(x)|f_i(x)\)，易知這時\(g_i(x)\)就是\(f(x),g(x)\)的最大公因式。這個方法就是大家熟悉的輾轉相除法，值得提醒的是，該方法要求每個元素都可逆（或者具體問題中\(g_i(x)\)的首項可逆）。
\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\: \text{deg}\,r(x)<\text{deg}\,g(x)\tag{3}\]
輾轉相除法的過程還間接說明了，存在多項式\(u(x),v(x)\)使得式（4）成立，由於形式\(a(x)f(x)+b(x)g(x)\)總含有因式\(d(x)\)，故式（4）是它能得到的次數最大的多項式（相伴意義下也是唯一的）。當\(d(x)=1\)時，說明\(f(x),g(x)\)沒有次數大於\(0\)的因式，這時它們稱為互素的，並且顯然\(d(x)=1\)是它們互素的充要條件。對於多個多項式，由於\((f_1(x),..,f_n(x))=((f_1(x),..,f_{n-1}(x)),f_n(x))\)，因此可以同樣得到類似（4）的式子，以及它們互素的充要條件。最后我想強調一下，雖然互素的定義可以不依賴輾轉相除法，但要得到更多有用的性質，還是得用輾轉相除得到的式（4），因此一般都假定多項式系數在域\(F\)中。以下看似直觀的結論，離開了互素的充要條件將很難證明，請自行練習。
\[u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))=d(x)\tag{4}\]
• 如果\(h(x)|f(x)g(x)\)，且\((f(x),h(x))=1\)，則一定有\(h(x)|g(x)\)；
• 如果\(f(x)|h(x),g(x)|h(x)\)，且\((f(x),g(x))=1\)，則一定有\(f(x)g(x)|h(x)\)；
• 如果\((f(x),h(x))=1,(g(x),h(x))=1\)，且\((f(x),g(x))=1\)，則一定有\((f(x)g(x),h(x))=1\)。
在\(F(x)\)中，當多項式\(p(x)\)沒有次數更低的因式時，它稱為不可約多項式。易知對任意\(f(x)\)，要么有\(p(x)|f(x)\)，要么有\((f(x),p(x))=1\)。由此還能得到結論：如果\(p(x)\)不可約且\(p(x)|f(x)g(x)\)，則有\(p(x)|f(x)\)或\(p(x)|g(x)\)。在抽象代數中我們已經證明，含幺整環\(R\)上的\(R[x]\)是一個歐式環，因此是唯一分解環，而域是一個特殊的含幺整環，故\(F[x]\)自然也是唯一分解環。所謂唯一分解當然是指，存在唯一的分解式（5）（相伴意義下，且順序可改變），其中\(p_i(x)\)都是不可約的。這個結論也可以在多項式上直接證明（和整數環的唯一分解性一樣），但論證方法無本質差異（無非是一個更抽象、更通用）。
\[f(x)=p_1^{n_1}(x)p_2^{n_2}(x)\cdots p_k^{n_k}(x)\tag{5}\]
式（5）中如果\(n_i>1\)，則稱\(p_i(x)\)是\(f(x)\)的重因式，否則稱為單因式。討論重因式有時候是很必要的（比如重根、下篇的不變子空間），為了判定重因式，代數中引進了\(f(x)\)形式導函數（6），容易證明這個形式定義的導函數同樣滿足式（7）。對於一個\(k\)重因式\(p_i(x)\)，利用這些式子不難證明\(f'(x)\)中\(p_i(x)\)的重數正好是\(k-1\)，故\(f(x),f'(x)\)有公因式\(p_i^{k-1}(x)\)，且\(k-1\)是最高次數。反之如果\(f(x),f'(x)\)有公因式\(p_i^{k-1}(x)\)，也易知\(f(x)\)含有因式\(p_i^k(x)\)，利用這個充要條件可以判斷重因式的存在性、以及求出因式和重數。
\[f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1\tag{6}\]
\[[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x);\;\;[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{7}\]
1.3 其它定義和性質
當確定了未知元\(x\)的集合及乘法運算時（包括自身乘法和與\(R\)中元素的乘法），就可以把具體值\(a\)帶入多項式\(f(x)\)的任何形式（展開或因式乘積），它們的值應該都是相等的，這個值被定義為多項式在\(a\)處的值\(f(a)\)。這里我們先把\(R\)假定為一般的含幺環，根據式（3）可知，存在唯一多項式\(q(x),r\)使得式（8）左成立。把\(a\)帶入式（8）左便知\(r=f(a)\)，於是有式（8）右成立，它稱為余數定理。當\(f(a)=0\)時，\(a\)稱為\(f(x)\)的根，根據式（8）右可知（還要求\(R\)有單位元）：\(a\)為\(f(x)\)根的充要條件是\((x-a)\)為\(f(x)\)的因式，這便在一次項和根之間建立了聯系。
\[f(x)=q(x)(x-a)+r;\;\;f(x)=q(x)(x-a)+f(a)\tag{8}\]
• 已知\((x-a)|f(x^n)\)，求證\((x^n-a^n)|f(x^n)\)；
• 已知\(f(x)|f(x^n)\)，嘗試討論\(f(x)\)的根。
余數定理是余式（3）的特例，它要求環有單位元，且未知元滿足多項式的運算律（1）。但其實如果未知元就取環\(R\)，即使\(R\)不滿足交換律（從而不滿足項的乘法）、而\(f(a)\)僅定義為把\(a\)帶入式（2），抽象代數中已經證明了：余數定理仍然成立。這個更一般的余數定理有着更廣泛的應用，一個典型代表就是的Hamilton-Caylay定理，你可以回到線性代數看看這個定理的證明，其實和抽象代數的證明本質是一樣的。
本段的最后，我們來討論一下多項式性質和系數環（域）的關系。對具體的多項式\(f(x),g(x)\)，先設它們的系數都屬於環\(R_1\)，則它們也屬於其擴環\(R_2,(R_1\subset R_2)\)。容易知道，在\(R_1[x]\)中成立的結論在\(R_2[x]\)中也一定成立，反之則不一定成立。我們比較關心這樣的問題：\(R_1[x]\)的多項式如果在\(R_2[x]\)中有某個性質，那么這個性質在\(R_1[x]\)中還會有嗎？在所有的性質討論中，式（4）和唯一分解定理起到了非常重要的作用，為此我們就把討論的內容限定在域中吧（\(F_1\subset F_2\)）。
式（3）的唯一性就表明了它在\(F_1[x],F_2[x]\)中是一樣的，這就是說整除性（能或不能整除）在\(F_1[x],F_2[x]\)中也是一致的。繼而由輾轉相除法和式（4），兩個多項式的最大公因式也不會隨系數域而變化，特別地，兩個多項式的互素關系也與系數域無關。再看看導函數\(f'(x)\)的形式，它在不同域中系數是不變的，這樣重因式也是和系數域無關的。你會發現，與系數域無關的性質基本都是因式有關的。
2. 數域上的多項式
2.1 復系數多項式
以上討論的是通用多項式的性質，它們適用於任何滿足條件的多項式環。最常見的多項式其實還是數系多項式，而最常見的數系從大到小依次是復數系、實數系、有理數系，下面就按這個順序討論數系多項式特有的性質。數系多項式中，更加關注多項式的值和根，甚至很多因式的討論就是通過根的方法來完成的。
對於復系數多項式，最重要的結論當然是代數基本定理：復系數多項式至少有一個根。這個代數基本定理在代數中卻沒有初等的證明方法，比較透徹的方法都需要復變函數的知識，這里我們暫時把它當一個結論使用。由上面的討論，\(f(x)\)有復根\(z\)的等價條件是\((x-z)|f(x)\)，依次類推\(f(x)\)有最終分解式（9）。\(n\)次復系數多項式共有\(n\)個復數根（可以是重根），並且由這\(n\)個復數根和首相系數完全確定，復系數不可約多項式只有一次式。多項式最多有\(n\)個根，這一點說明如果兩個多項式\(f(x),g(x)\)在不止\(n\)處相等，則它們一定是完全重合的，這個特點不管在證明還是數值計算上都有重要的應用。展開式（9）后對比系數，便可以得到大家熟悉的韋達（Vieta）公式，這里就不展示等式內容了。
\[f(x)=(x-z_1)^{n_1}(x-z_2)^{n_2}\cdots (x-z_k)^{n_k},\;(\sum n_i=n)\tag{9}\]
復系數多項式的徹底可分解性，即使用在其他數域的多項式上，也會有一些有趣的性質。比如任意數域上的\(f(x),p(x)\in F[x]\)，如果\(p(x)\)是一個不可約因式，從上面的討論知道：\(p(x)\)沒有復數重根。另外，如果\(f(x)\)與\(p(x)\)有某個相同復根，則它們一定是有公因式（利用公式（4））。結合這兩個條件就有：如果\(f(x)\)與不可約因式\(p(x)\)有一個相同復根，則一定有\(p(x)|f(x)\)。
• 求證\(x^2+x+1|x^{3m+2}+x^{3n+1}+x^{3l}\)。
為了判斷復數\(c\)是否為\(f(x)\)的\(k\)重根，利用之前的結論，只需證明\(f(c)=f'(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0\)且\(f^{n}(c)\ne 0\)。為了估算復根的半徑，令\(M=\max\{\dfrac{|a_{n-1}|}{|a_n|},\cdots,\dfrac{|a_0|}{|a_n|}\}\)，這樣便容易有多項式的估算式\(|f(z)|\geqslant|a_n|\left[|z|^n-M\dfrac{|z|^n-1}{|z|-1}\right]\)，顯然當\(|z|-1>M\)時有\(|f(z)|>0\)，故根的半徑在\(1+M\)內。
最后來看復系數多項式的兩個應用。對任意方陣\(A\)，可以記它的特征多項式\(|\lambda I-A|\)為\(\prod(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\)。然后對任意復數\(k\)，容易求得\(kA\)的特征多項式為\(\prod(\lambda-k\lambda_i)^{n_i}\)。把\(1\)的\(k\)階單位根計作\(\{\omega_j\}\)，剛才的結論是說\(|\lambda I-\omega_j A|=\prod(\lambda-\omega_j\lambda_i)^{n_i}\)，把這\(k\)個式子相乘便有\(|\lambda^k I-A^k|=\prod(\lambda^k-\lambda_i^k)^{n_i}\)，從而可知\(A^k\)的特征多項式是\(\prod(\lambda-\lambda_i^k)^{n_i}\)（參考第二篇中矩陣多項式的特征值）。
設\(f(x)\in C[x]\)，並設其有\(r\)個不同的復根且有展開式\((x-\alpha_i)^{n_i}\)。由於\(f(x)-a\)與\(f(x)\)互質，故\(f(x)-a\)的\(s\)個不同復根與\(f(x)\)不同，設其展開式為\((x-\beta_j)^{m_j}\)。考慮到兩者的導數相同，則\(f'(x)=\prod(x-\alpha_i)^{n_i-1}\prod(x-\beta_j)^{m_j-1}h(x)\)。由次數關系知\(n-r+n-s\leqslant n-1\)，從而\(r+s\geqslant n+1\)。這個結論說明，任意兩個不同像\(f(a),f(b)\)的原像集合\(f^{-1}(a),f^{-1}(b)\)大於\(n\)，結合前面的結論知，它們可以唯一確定\(f(x)\)（即在兩個像上原像相同的多項式也相同）。
2.2 實系數多項式
現在來看更為常用的實系數多項式\(f(x)\)，可以先把它放在復數域上討論，比如它至少有一個復根\(z\)，即有\(f(z)=0\)。對這個等式兩邊同時取共軛，由於系數都是實數，最終得到\(f(\bar{z})=0\)，從而\(z\)及其共軛\(\bar{z}\)同時為\(f(x)\)的根。如果\(z\)不是實數，\(z,\bar{z}\)便是兩個不同的根，它們對應的因式\((x-z)(x-\bar{z})\)其實是實多項式\(g(x)=x^2+px+q\)（\(p^2-4q<0\)），且它在實數系上不可約。歸納地討論實系數多項式\(f(x)/g(x)\)，便可以將\(f(x)\)分解為唯一標准式（10），從根的角度也可以說：除了實根外，實系數多項式的復根都是以共軛形式成對出現的。
\[f(x)=\prod(x^2+p_ix+q_i)^{n_i}\cdot\prod(x-b_j)^{m_j}\tag{10}\]
• 求\(x^n\pm 1\)在實數域的標准分解式，並由此討論\(\prod\cos\dfrac{k}{n}\pi\)的值。
\[\prod_{k=1}^n\cos\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{1}{2^n};\;\;\prod_{k=1}^n\sin\dfrac{k\pi}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\tag{11}\]
實根對於實系數多項式是尤為重要的，利用復根的估算式雖然能給出實根的粗略范圍，卻不能給出實根的個數以及更具體的取值范圍。有一種方法可以快速地確定多項式在任一區間內根的個數，從而可以使用逼近的方法得到一定精度的根。為了說明方法的原理，先來觀察如式（11）的一種輾轉相除序列。假定\(f_0(x),f_1(x)\)互質，序列將結束於一個非零的常數，從而在任意\(x_0\)上序列不會連續為0。假定\(f_i(x_0)=0\)，那么\(f_{i-1}(x_0),f_{i+1}(x_0)\)一定非零且符號相反。不難判斷在\(x_0\)附近，序列\(\{f_{i-1}(x),f_i(x),f_{i+1}(x)\}\)的符號變化次數總是1。可想而知，當\(x\)連續變化時，序列\(\{f_0(x),f_1(x),\cdots\}\)的符號變化次數只可能在\(f_0(x)\) 的根附近增或減1。如果序列符號的變化次數\(W(x)\)在根附近總是增（或減），那么\(W(a)-W(b)\)就等於\(f_0(x)\)區間\((a,b)\)上根的個數。
\[f_i(x)=q_i(x)f_{i+1}(x)-f_{i+2}(x)\tag{11}\]
對於任意實系數多項式\(f(x)\)，先假設\((f(x),f'(x))=1\)（無重根）且\(x_0\)是\(f(x)\)的一個根，容易知道\(f(x_0^+)\)的符號與\(f'(x_0)\)相同（如圖）。也就是說，當\(x\)由\(-\infty\)連續變化到\(+\infty\)時，W(x)僅在\(f(x)\)的根前后增加1。當\(f(x)\)有重根時，設\(h(x)=(f(x),f'(x))\)，考察\(g_0(x)=f(x)/h(x)\)和\(g_1(x)=f'(x)/h(x)\)，首先他們一定互質。為了討論\(g_0(x_0^+)\)與\(g_1(x_0)\)的關系，設根\(x_0\)的重數為\(l\)，並記\(f(x)=(x-x_0)^lp(x)\)。容易證明\(f(x)/(x-x_0)^{l-1}\)在\(x_0^+\)的符號與\(f'(x)/(x-x_0)^{l-1}\)在\(x_0\)的符號相同，進而得到\(g_0(x_0^+)\)與\(g_1(x_0)\)的符號相同，所以以上結論對\(g_0(x)\)也成立。另外顯然，\(g_0(x),g_1(x)\)同時乘上\(h(x)\)變成\(f(x),f'(x)\)后，並不影響結論（\(W(x)\)在\(f(x)\)的根上可忽略）。總結結論就是，表達式\(W(a)-W(b)\)可以表示\(f(x)\)在區間\((a,b)\)上不同實根的個數（不包括重數），該定理叫做Sturm定理。
2.3 有理和整系數多項式
最后再來看有理數域多項式的分解，首先注意到：任何有理系數的多項式\(f(x)\)在乘上適當的整數后都可轉化為整系數多項式，此時數論的基礎結論就可以發揮作用。與\(f(x)\)相伴的諸多整系數多項式中，所有系數的公約數為\(\pm 1\)的尤為特殊，它被稱為本原多項式。首先容易證明\(f(x)\)的本原多項式只有兩個，且它們剛好滿足\(g_1(x)=-g_2(x)\)。然后就是線性代數中論證過的的重要結論（高斯引理）：兩個本原多項式的乘積仍然是本原多項式。基於高斯引理，還可以輕松證明：整系數多項式在有理數域可分解的充要條件是它可以分解為兩個整系數多項式，這使得對有理多項式的分解完全可以用整系數多項式的分解來取代。
完全判定整系數多項式的可約性非常困難，但我們可以根據一些形式特點來斷定某些多項式不可約，一個著名的結論就是Eisenstein判別法：如果存在素數\(p\)使得\(p|a_i,(0\leqslant i\leqslant n-1)\)，但\(p\nmid a_n,p^2\nmid a_0\)，那么\(f(x)\)不可約。利用高斯引理可以輕松證明判別法的合理性，並能發現條件中如果\(a_0,a_n\)的角色互換結論依然成立。該判別法既可直接使用，有時還可以對多項式作適當的偏移再判定。比如分圓多項式\(f(x)=x^{p-1}+\cdots+x+1\)，由於\((x-1)f(x)=x^p-1\)，用\(x+1\)取代\(x\)后可論證\(f(x+1)\)不可約，從而\(f(x)\)不可約。
• 對不同素數\(p_1,\cdots,p_t\)，求證\(\sqrt[n]{p_1p_2\cdots p_t}\)是無理數;
• 若\(m>n\)，求證任意\(\sqrt[m]{p}\)都不是\(n\)次多項式\(f(x)\)的根。
• 判斷\(x^p+px^r+1\)的可約性。
整數模\(p\)（素數）的剩余類域是最常見的有限域，而有限域的好處是可以只針對有限的情況進行討論，這個特點可以幫助判斷整系數多項式\(f(x)\)的可約性。當\(f(x)\)可約時，對其取模\(p\)得到剩余類域上的多項式\(\bar{f}(x)\)，顯然\(\bar{f}(x)\)也是可約的（反之不一定成立）。從而當\(\bar{f}(x)\)不可約時，\(f(x)\)一定也不可約，這里我們便有了一個判斷整系數多項式不可約的新方法。判斷可約性還可以有其它綜合的方法，課本上舉了幾個利用多項式根不超過\(n\)的性質的例子，比較值得玩味，以下假設\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是不同的整數，請自行證明以下三個問題。
• 求證：\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1\)不可約；
• 求證：\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\)在\(n\)為奇數時不可約，在\(n\geqslant 6\)且為偶數時不可約；
• 求證：\((x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots(x-a_n)^2+1\)不可約。
最后來討論一下整系數多項式的有理根與系數的關系，假設\(f(x)\)有根\(\dfrac{p}{q}\)，則它有一次因式\(x-\dfrac{p}{q}\)，從而有本原因式\(qx-p\)。這說明\(f(x)\)的系數滿足式（12），其中前兩個式子可以初步圈定有理根的范圍，然后通過后兩個式子和其它方法可以分別驗證是否為根，這樣便能得到\(f(x)\)的所有有理根。
\[(qx-p)|f(x)\;\Rightarrow\;q|a_n,\;p|a_0;\;\;p+q|f(-1),\;p-q|f(1)\tag{12}\]
3. 結式和判別式
我們還可以對多元多項式進行以上類似的討論，其中比較重要的就是對稱多項式。有兩種基本的常見對稱多項式，一種是多項式\(\prod_i(x+x_i)\)展開式的項\(x^{n-k}\)的系數\(\sigma_k=\sum x_{i_1}\cdots x_{i_k}\)，它們被稱為\(n\)元初等對稱多項式。關於初等對稱多項式，有一個基本定理：任何對稱多項式\(f(x_1,\cdots,x_n)\)都可以唯一表示為初等對稱多項式的多項式\(g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\)。還有一種對稱多項式是冪和式\(s_k=\sum_i x_i^k\)，牛頓公式給出了這兩種對稱多項式之間的關系，本段的兩個結論在線性代數中都有論證。
很多情況下需要判斷或給出兩個多項式\(f(x),g(x)\)（式（13））有公因式（或相同的根）的條件，輾轉相除法雖然能解決這個問題，但操作比較麻煩。現在從另一個角度討論這個問題，在代數閉域中這兩個問題等價於是否有相同的根，我們就在代數閉域中討論這個問題。設\(f(x),g(x)\)的根分別是\(\{y_1,\cdots,y_m\},\{z_1,\cdots,z_n\}\)，式（14）可以作為\(f(x),g(x)\)是否有同根的判別式，它被稱為\(f(x),g(x)\)的結式。顯然結式是關於\(\{y_i,z_j\}\)的對稱多項式，由基本定理可知它能寫成\(\{a_i,b_j\}\)的表達式，但直接尋找答案比較困難，下面從另一個等價條件出發反向推導。
\[f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0;\;\;g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0\tag{13}\]
\[\text{Res}(f,g)=\prod_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(y_i-z_j)=\prod_{i=1}^mg(y_i)=\prod_{j=1}^n(-1)^mf(z_j)\tag{14}\]
\(f(x),g(x)\)有相同根其實還等價於：存在不高於\(m-1,n-1\)次的多項式\(f_0(x),g_0(x)\)，使得\(g_0(x)f(x)=f_0(x)g(x)\)。通過比較系數其實可以得到一個關於\(f_0(x),g_0(x)\)系數的一次方程（請自行寫出），方程的系數矩陣如式（15）（左半邊有\(n\)列，右半邊有\(m\)列），而\(f_0(x),g_0(x)\)的存在性則等價於\(|R|=0\)，下面就來看\(|R|\)的表達式。由於每一列正好是多項式的系數，可以對多項式做如下初等變換：分別把第\(k\)行的\(y_i^k\)倍加到最后一行。不難知道最后一行的前\(n\)個元素為\(0\)，而后\(m\)個元素有公因式\(g(y_i)\)。
\[R_{m+n}=\begin{bmatrix}a_0&&&b_0&&\\a_1&\ddots&&b_1&\ddots&\\\vdots&\ddots&a_0&\vdots&\ddots&b_0\\a_m&\ddots&a_1&b_n&\ddots&b_1\\&\ddots&\vdots&&\ddots&\vdots\\&&a_m&&&b_n\end{bmatrix}\tag{15}\]
以下先假設\(\{a_m,b_m\}\)是化1的，根據韋達定理知\(\{a_i,b_j\}\)可表示為\(\{y_i,z_j\}\)的多項式，而剛才的結論說明\(|R|\)有因式\(g(y_i)\)。又因為所有\(\{g(y_i)\}\)之間無公因式，故\(|R|\)有因式\(\prod_ig(y_i)=\text{Res}(f,g)\)，它的次數是\(mn\)。另一方面，\(|R|\)顯然是\(\{y_i,z_j\}\)的齊次多項式，下面來計算它的次數。根據每一列次數遞增的特點，考慮把每行的次數統一，為此僅需在每列乘上合適的式子，具體來說是在每一列分別乘上任意一個\(\{n,n-1\cdots,1,m,m-1,\cdots,1\}\)次式。這樣從列來看次數增加了\(m(m+1)/2+n(n+1)/2\)，而從行來看總次數是\((m+n)(m+n+1)/2\)，相減得到\(|R|\)的次數為\(mn\)。這個結論說明\(|R|\)與\(\text{Res}(f,g)\)只相差一個常數項系數，把\(\{y_i=0,z_j=1\}\)帶入便可知\(|R|=a_n^n\cdot\text{Res}(f,g)\)，教材上其實就是把\(|R|\)作為結式的定義的。
結式的應用自然是集中在多項式同根的問題上，有一些常見的問題都可以間接地轉化為同根問題。比如求解二元多項式組\(f(x,y)=0,g(x,y)=0\)時，如果兩個函數都能寫成關於\(x\)（或\(y\)）的多項式，這時的結式是關於\(y\)的方程，就可以先解出\(y\)再求解\(x\)。再比如參數方程\(x=x(t),y=y(t)\)，如果這兩個方程都能寫成\(t\)的多項式形式，此時的結式就是只含\(x,y\)的方程，這就得到\(x,y\)的不含參方程。
結式也可以用於判斷多項式是否有重根，我們知道\(f(x)\)有重根的充要條件是\((f(x),f'(x))\ne 1\)，設\(f(x)\)的根為\(\{x_1,\cdots,x_n\}\)，此時的結式為式（16）左。把\(f'(x)\)按\([\prod(x-x_i)]'\)展開成\(n\)項，然后就能得到式（16）右。右式可以有更簡單的類似式（17）左，該式也用於判斷\(f(x)\)是否有重根，它稱為\(f(x)\)的判別式，它是二次多項式判別式的擴展。利用牛頓定理可知\(D(f)\)可由其系數表示，而結式便給了一個計算方法。另外，利用定義還不難得到結式和判別式的關系式（18）（19）。
\[\text{Res}(f,\,f')=\prod_{i=1}^nf'(x_i)=\prod_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)\tag{16}\]
\[D(f)=\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\text{Res}(f,f')\tag{17}\]
\[\text{Res}(f,\,g_1g_2)=\text{Res}(f,\,g_1)\cdot\text{Res}(f,\,g_2)\tag{18}\]
\[D(fg)=D(f)D(g)\cdot\text{Res}^2(f,\,g)\tag{19}\]
• 求\(f(x)=x^n+\cdots+x+1\)的判別式。