高次多項式因式分解

一、

1.商式

在多項式除法P(x)/Q(x)運算中，如果P(x)可以表示成Q(x)*S(x)+R(x)的形式（其中S(x)、R(x)為整式），那么S(x)叫該除法式中的商式。

例1：求(x^3-2)/(x+1)的商式

解：(x^3-2)/(x+1)

=(x^3+1-3)/(x+1)

=(x^3+1)/(x+1)-3/(x+1)

=(x^2-x+1)-3/(x+1)

所以 商式為x^2-x+1

例2：（2x^3-4x^2-1）/（x^2-2x-1/2）的商式是_____。

解：原式=2x+（x-1）/（x^2-2x-1/2）

所以原式商式為2x

結合綜合除法使用。

 

2.因式定理

(1)即為余式定理的推論之一：如果多項式f(a)=0，那么多項式f(x)必定含有因式x-a。反過來，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

(2)例題

如圖，

此題可以利用完全立方公式解答，但較為繁瑣。

仔細觀察不難發現，當x=y時，原式的值為0。

根據因式定理可知：原式必有因式x-y

同樣的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式為對稱多項式直接得到）

然后再用待定系數法（結合賦值法）求出待定系數即可

(3)意義

熟練掌握因式定理后，可以運用試根法（結合因式定理）找到因式，再用待定系數法（結合賦值法）求出待定系數，或綜合除法直接求出剩下的因式，這樣就可以較便利的分解因式了。

同時，將因式定理與待定系數法配合使用往往可以更簡便的進行因式分解，也可以用來判斷能否進行因式分解。

(4)多項式的因式分解

因式定理普遍應用於找到一個多項式的 因式或多項式方程的根的兩類問題。從定理的推論結果，這些問題基本上是等價的。

若多項式已知一個或數個零點，因式定理也可以移除多項式中已知零點的部份，變成一個階數較低的多項式，其零點即為原多項式中剩下的零點，以簡化多項式求根的過程。方法如下：

1. 先設法找出多項式的一個零點。
2. 利用因式定理確認是多項式的 因式。
3. 利用 長除法計算多項式。
4. 中，所有滿足條件的根都是方程式的根。因為的多項式階數較要小。因此要找出多項式的零點可能會比較簡單。

另外欲使A=BQ+R成立,就令 除式BQ=0,則被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式

 

3.余數定理

(1)余數定理（Polynomial remainder theorem）是指一個多項式f(x) 除以一線性多項式(x-a)的余式是 f(a)。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5*3³+4*3²-12*3+1=136。

(2)當多項式f(x)除以一線性多項式(x-a)時，所得的餘式是f(a)。如果餘式為0，x-a即f(x)的一個因式。這結果可以幫助我們把多項式作因式分解。

 

 

4.綜合除法

(1)綜合除法(synthetic division)是一種簡便的除法，只透過乘、加兩種運算便可計算到一元多項式除以(x - a)的商式與余式。

(2)綜合除法的依據是因式定理即若(x-a)能整除某一多項式，則(x-a)是這一多項式的一個因式。

例分解因式3x^3-4x^2-13x-6

∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).

說明：(1)用綜合除法試商時，要由常數項和最高次項系數來決定．常數項的因數除以最高次項系數的因數的正負值都可能是除的整除商．上例中常數項是6，最高次項系數是3它們的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．試除時先從簡單的入手．

        (2)因式可能重復．

 

5.多項式的因式分解中

(1)

(2)

(3)

6.

 

二、