先來看幾個代數式:\(xy\), \(x+y\), \(x^2y+xy^2\), \(xy+yz+xz\), \(x^3+y^3+z^3\).
交換這些式子中的任意兩個字母,式子不變。我們把這樣的式子叫做對稱式。
再看幾個式子:\(x^2y+y^2z+z^2x\), \(xyz\), \(xy^2+yz^2+zx^2\).
將這些式子中的 \(x\) 換成 \(y\), 將 \(y\) 換成 \(z\), 將 \(z\) 換成 \(x\),即將字母做一個輪換, 式子保持不變。我們將這樣的式子叫做輪換式。
明顯地,對稱式一定是輪換式,但輪換式未必是對稱式。另外,兩個輪換式(對稱式)的和、差、積、商仍然是輪換式(對稱式)。
典型方法
- 分解因式:\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\).
我們可以看到這是一個關於 \(x\), \(y\), \(z\) 的輪換式. 不妨把這個式子看作關於 \(x\) 的多項式。容易看出 \(y\) 是多項式的一個根,於是 \(x-y\) 是一個因式。
由於是輪換式, \(y-z\), \(z-x\) 也是它的因式, 從而它們的積 \((x-y)(y-z)(z-x)\) 也是因式。
原式是三次多項式,這個乘積也是三次的,因此兩者最多相差一個常數因數,即
為確定 \(k\), 我們來比較兩邊 \(x^y\) 項的系數,易得 \(k=-1\). 於是就有分解
-
分解因式:\(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\).
與上例類似可知 \((a-b)(b-c)(c-a)\) 是它的因式。但原式是四次的,因此我們還缺一個一次因式。原式是輪換的,我們找到的乘積也是輪換的,所以尋求的那個一次因式也應該是輪換。同時根據兩者的齊次性(無常數項),可知那個一次因式形如 \(k(a+b+c)\)。利用之前的比較系數法,或者取特殊值法,可求得 \(k=-1\).
即分解為 $$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$ -
分解因式:\((a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3\).
取 \(a=0\), 得原式為 \(0\), 於是 \(a\) 是一個因式。因為它是輪換式,所以 \(abc\) 是它的因式。原式為三次,因此現在只相差一個常數了。不妨設
取 \(a=b=c=1\), 得 \(k=24\), 於是有
齊次輪換式的一般形式(以三元為例)
- 一次齊次的輪換式形如:\(l(x+y+z)\)
- 二次齊次的輪換式形如:\(l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)\)
- 三次齊次的輪換式形如:\(l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz\)
其中的 \(l\), \(m\), \(n\), \(k\) 是待定常數.
齊次與非齊次
- 分解因式:\((x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5\)
易知其有因式 \((x-y)(y-z)(z-x)\). 因為原式是五次齊次輪換式,所以還缺一個二次齊次輪換式。不妨設
令 \(x=2\), \(y=1\), \(z=0\) 可得 \(5l+2m=15\).
令 \(x=1\), \(y=0\), \(z=-1\) 可得 \(2l-m=15\).
於是可得 \(l=5\), \(m=-5\). 這就給出了所要的因式分解.
- 分解因式:\(a^5-b^5-(a-b)^5\).
記 \(y-z=a\), \(z-x=c=-b\), 則此題就變為上一例題。最后結果為
一個有用的公式
- 分解因式:\(a^3+b^3+c^3-3abc\).
當 \(a=-(b+c)\) 時,原式為 \(0\), 所以原式有因式 \(a+b+c\). 再者,原式是三次齊次輪換式,所以我們還缺一個二次齊次輪換式因式。 不妨設
比較兩邊 \(a^3\) 的系數可得 \(l=1\). 比較 \(abc\) 的系數可得 \(m=-1\). 於是
有時候我們也把它寫為
推論
若 \(a+b+c=0\), 則 \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
- 分解因式:\((y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3\).
利用上面的推論立即可得
焉用牛刀
- 分解因式:\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz\).
它如果能分解,那就有一次因式,而且還是其次輪換式。可以驗證一次因式是 \(x+y+z\).
不過這里我們沒必要用這種方法,因為直接分解更簡單一點:
\begin{align*} x^2y+xy^2+xyz &=xy(x+y+z) \\ y^2z+yz^2+xyz&=yz(x=y+z)\\ z^2x+zx^2+xyz &=zx(x+y+z). \end{align*}
所以有
特殊的問題可以用特殊的方法處理,並不是每道題都非得用一般的方法去對付不可。
后面兩節的內容有點復雜了,實在提不起興趣。