這里主要討論整系數的四次多項式。根據高斯引理，一個整系數多項式如果能分解為兩個有理系數的因式之積，那么它必定可分解為兩個整系數的因式之積。所以我們直接考慮有沒有整系數因式就可以了。
二次因式
- 分解因式：\(x^4+x^3+2x^2-x+3\).
根據前面的知識，此式的有理根只可能是 \(\pm 1\), \(\pm 3\). 經過驗證，它們都不是原式的根。因此原式沒有有理根，即沒有有理系數的一次因式。
因此我們設想它可分解為兩個整系數的二次因式的乘積。因為原式是首一的，因此兩個二次因式也應當是首一的，於是不妨設
\[x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d). \]
其中 \(a,b,c,d\) 都是整數。【2015.5.8注：原來的公式是錯誤的，現已修改。】
比較兩邊對應項的系數和常數項，可得
\[a+c=1\quad b+d+ac=2 \quad bc+ad=-1\quad bd=3 \]
這樣的方程組通常是不好求解的。但我們這里有優勢：各數都是整數！先從最后一個等式入手，然后逐步回代，聯立方程。最后可得到分解
\[x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2-x+1)(x^2+2x+3). \]
這里有一點需要注意，一開始的 \(bd=3\) 可以得到兩組解。如果其中一組解可以導出一個分解，那么另外一組解的情形就沒必要再考慮了，因為分解是唯一的。（這里涉及復數的知識，不多提。）
再來看一個例子：
- 分解因式：\(2x^4-x^3+6x^2-x+6\).
由於首項系數為 \(2\), 所以不妨設
\[2x^4-x^3+6x^2-x+6=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d). \]
比較兩邊的系數及常數項，可得
\[2c+a=-1,\quad 2d+b+ac=6,\quad ad+bc=-1,\quad bd=6 \]
由最后一個式子我們可得 \(8\) 組 \(b, d\) 的值。經過試驗發現 \(b=3\), \(d=2\) 可以導出一個分解
\[x^4-x^3+6x^2-x+6=(2x^2+x+3)(x^2-x+2). \]
根據前面的提醒，余下的幾種情況就沒必要再討論了。
其實十字相乘法是這種方法的一種特殊情況，但比較簡單。待定系數法是一種很基本的方法，應用范圍非常廣。這是一種方程思想，先以未知為已知，然后逆向求解。