前言
當已知了函數的類型，比如一次函數(需要知道兩個點的坐標)、二次函數(需要知道三個點的坐標)、指數函數(需要知道一個點的坐標)、對數函數(需要知道一個點的坐標)、冪函數(需要知道一個點的坐標)等等，我們就可以用待定系數法求解析式了。
其中三角函數中，求正弦型函數 \(f(x)=Asin(\omega x+\phi)+b\) 的解析式，也屬於待定系數法；
待定系數法
- 操作說明：適用於已知函數的類型， 比如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數等；
分析：由於函數\(f(x)\)是一次函數，故我們可以合理的設函數\(f(x)=ax+b\)，
則\(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2\)，
故有\(a^2=2\)，\(ab+b=1\)，
解得\(a=1，b=1\)，故所求為\(f(x)=x+1\)；
分析：當\(-1\leqslant x\leqslant 0\)時，設解析式為\(y=kx+b(k\neq 0)\)，則\(\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.\)，
解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.\)，即\(y=x+1\)，
當\(x>0\)時，設解析式為\(y=a(x-2)^2-1(a\neq 0)\)，由於圖像過\((4，0)\)，
代入解得\(a=\cfrac{1}{4}\)，即\(y=\cfrac{1}{4}(x-2)^2-1\)，
綜上所述，函數的解析式為\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1,-1\leqslant x \leqslant 0}\\{\cfrac{1}{4}(x-2)^2-1,x>0}\end{array}\right.\)
法1：一般式，設\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，
由題意得\(\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}\)，
故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
法2：頂點式，設\(f(x)=a(x-m)^2+n\)，由題意得\(n=8\)，又\(f(2)=f(-1)\)，
故函數的對稱軸是\(x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}\)，故\(m=\cfrac{1}{2}\)。
則\(y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8\)，
又\(f(2)=-1\)，\(a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1\)，
解得\(a=-4\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
法3：兩根式(零點式)，由已知\(f(x)+1=0\)的兩根\(x_1=2\)，\(x_2=-1\)，
故可設\(f(x)+1=a(x+1)(x-2)\)，即\(f(x)=ax^2-ax-2a-1\)，
又函數\(f(x)_{max}=8\)，即\(\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8\)，
解得\(a=-4\)或\(a=0(舍去)\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
分析：設反比例函數的解析式為\(y=\cfrac{k}{x}(k\neq 0)\)，則由反比例函數過點\((m，m)\)和點\((2m，-1)\)，
可知\(k=m^2=-2m\)，解得\(m=0\)(舍去)或\(m=-2\)，即\(k=m^2=4\)，
故反比例函數解析式為\(y=\cfrac{4}{x}\)。
分析：由於點\((2,f(2))\)既在曲線上，也在切線上，故借助切線方程\(7x－4y－12＝0\)可以求得\(f(2)=\cfrac{1}{2}\)；
則由點\((2,\cfrac{1}{2})\)在曲線上，則有\(2a－\cfrac{b}{2}＝\cfrac{1}{2}\)①；
又由於切線方程\(7x－4y－12＝0\)可化為\(y＝\cfrac{7}{4}x－3\)，即\(k=\cfrac{7}{4}\)，
由\(f'(x)＝a＋\cfrac{b}{x^2}\)，得到\(f'(2)=a＋\cfrac{b}{4}＝\cfrac{7}{4}\)②，
聯立①②解得\(a＝1，b＝3\)，
故\(f(x)＝x－\cfrac{3}{x}\)。