等差乘等比型數列求和與待定系數法

近日,看到一數的視頻:待定系數法和執果索因,不禁聯想到以前見到的一個公式.

對於數列\(h_i=(an+b)\cdot q^{n-1}\):

\[\sum^n_{i=1}h_i=(An+B)q^n-B\\ A=\frac a{q-1},B=\frac{b-A}{q-1} \]

筆者以前也曾嘗試過推等差乘等比型數列求和公式,得到的結果不堪入目,直到看到一數的視頻,忽然想到,上述公式是不是也可以通過執果索因來逆向推導呢?

首先,我們要明確我們的果是什么樣子,我們只需知道大致形式即可.

為了方便,令\(S_n=\sum^n_{i=1}h_i\),按照常規錯位相減的方法,我們會得到\(S_n=常數項+\text{等比數列}-\frac{(an+b)q^n}{1-q}\),(我們把\(a,b,q\)都當作常數處理,只關注和\(n\)有關的項).

其中,回顧等比數列求和公式:\(\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\),放到這里,大致判斷\(a_1\)是一個和\(n\)無關的量,即我們說的常數.整理一下,可以發現\(S_n=常數+\text{常數}\times q^n+\text{常數}\times n\cdot q^n\),這就是我們想要的"果"了.

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不妨設

\[S_n=(An+B)\cdot q^n+C \]

解出\(A,B,C\)即可.

\(S_n=\sum^n_{i=1}h_i\)和"\(\forall n\ge 2,S_n-S_{n-1}=a_n\)且\(S_1=a_1\)"是充要條件.所以我們得到了兩條等式.

先看第一個

\[S_n-S_{n-1} =(An+B)\cdot q^n-(An-A+B)\cdot \frac{q^n} q=(an+b)\cdot q^{n-1} \\ q^{n}\Big( (A-\frac Aq)n + B+\frac {A-B}q \Big) = q^n(\frac aq n+ \frac bq) \]

算了這么多,不要忘記我們想干什么,我們想要上面的式子對\(\forall n\ge 2\)恆成立,所以根據對應系數相等,有:

\[\begin{cases} A-\frac Aq=\frac aq\\ B+\frac{A-B}q=\frac bq \end{cases} \]

我們非常容易地就可以解得\(A=\frac {a}{q-1},B=\frac {b-A}{q-1}\).

然后考慮\(C\)的問題,按理說,通過\(S_1=a_1\),我們也可以解出\(C\),但是筆者經過嘗試發現這個過程並不容易.

我們打開上帝視角知道結果是\(C=-B\),帶入\(S_1=a_1\),我們發現等式確實成立,這里就不從正向推導\(C=-B\)了.

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最后,筆者有一個問題,為什么\(C=-B\),這僅僅是巧合嗎?還是有某種內在邏輯關系?代數方法固然可以嚴謹證明,但是不知道有沒有比較感性的證明?