拆開中項
前面說過，在分組分解時，常常將項數平均分配。但是如果式子只有三項怎么辦？方法是將一項拆為兩項。如果這個整式是按某一字母的升冪或降冪排列的，那么以拆開中項為宜。
- 分解因式 \(x^4-4x+3\).
拆項 $$x^4-x-3x+3$$
分組 $$(x^4-x)-(3x-3)$$
分解 $$x(x-1)(x^2+x+1)-3(x-1)$$
提項 $$(x-1)(x^3+x^2+x-3)$$
皆大歡喜
拆項是為了在適當分組后可以進行“提”或“代”，而拆開中項只是一種途徑，不必非得如此。
- 對於因式 \(a^3+3a^2+3a+b^3+3b^2+3b+2\)，我們可以看到前面三項很接近完全立方，四五六項也很接近完全立方。如果把 \(2\) 拆成 \(1+1\)，那就皆大歡喜了。
拆項：$$(a^3+3a^2+3a+1)+(b^3+3b^2+3b+1)$$
完全立方公式 $$(a+1)^3+(b+1)^3$$
立方之和 $$(a+b+2)(a^2-ab+b^2+a+b+1)$$
舊事重提
對於代公式里的 \((1)\) 式我們還可以證明如下：
- 分解因式： \(a^4+a^2b^2+b^4\)
首先，注意到式子與完全平方很像，因此會想到如下的拆項： $$(a^4+2a^2b^2+b^4)-a^2b^2$$
接下來再利用平方差： $$(a^2+b^2)^2-(ab)^2=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$$
我們可以看到，這個方法比之前的要簡單自然一些。
無中生有——一個數論應用
- 在 \(m\), \(n\) 都是大於 \(1\) 的整數時， \(m^4+4n^4\) 是合數。
與這兩項最接近的就是完全平方了，因此不妨添項，即“無中生有”（\(0=4m^2n^2-4m^2n^2\)）：\[(m^4+4m^2n^2+4n^4)-4m^2n^2=(m^2+2n^2)^2-(2mn)^2 \]再來平方差 $$(m^2+2n^2+2mn)(m^2+2n^2-2mn).$$
此時，兩因數中較小的那個\[m^2+2n^2-2mn=(m-n)^2+n^2\geq n^2>1, \]因此兩數都是真因數。