最近瘋狂刷因式分解來總結一下
一、基礎部分
1. 提取公因式
沒啥好說的，為最基本的方法，對代數敏感點就好了，一定要一次提取凈同時注意符號即可。
有一點可以注意的是：當有些項的系數為分數時，可提取出來，使得括號內部分系數為整數，更加簡潔明了。
如：\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{27}x+\frac{10}{9}=\frac{1}{27}(9x^2+4x+30)\)
2. 應用公式
\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)
\(x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2)\)
\((x+y)^{n}=C_n^0x^ny^0\)
\((x+y)^n=\sum^{i<n}_{i=0}C_n^ix^{n-i}y^i\)（二項式定理）
\((x-y)^n=\sum^{i<n}_{i=0}(-1)^iC_n^ix^{n-i}y^i\)
\(a^n-b^n=(a-b)\sum^{i<n}_{i=0}a^{n-i-1}b^i, n∈Q\)
\(a^n+b^n=(a+b)\sum^{i<n}_{i=0}(-1)^ia^{n-i-1}b^i, n為奇\)
先提取完公因式后會舒服很多
3.分組與拆添項
有很多有趣的套路，多刷題多總結能為以后考試中節省許多時間
主要要觀察式子的項數與系數，最常見的有：
\(·\)分組（看系數看未知數次數）
\(·\)無中生有（記得換回來）
\(·\)拆項
4.十字相乘
首先是最基本的相乘法，十分簡潔明了，與乘法豎式十分相似，用的幾率較大，應多加訓練掌握一些技巧
如：\((10x^2+41x+4)=(10x+1)(x+4)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad 1\)
\(\quad\quad x\quad\quad\quad\quad\qquad 4\)
當式子為二元二次式時同理
如：\((10x^2+41xy+4y^2)=(10x+y)(x+4y)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\)
\(\quad\quad x\quad\quad\quad\quad\qquad 4y\)，
\((10x^2+41xy+4y^2+19x+37y+9)=(10x+y+9)(x+4y+1)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\quad\quad\quad\quad\quad 9\)
\(\qquad\quad x\quad\quad\quad\quad\quad 4y\quad\quad\quad\quad\quad 1\)
三元的也是
如：\((10x^2+41xy+4y^2+19xz+37yz+9z^2)=(10x+y+9z)(x+4y+1z)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\quad\quad\quad\quad\quad 9z\)
\(\qquad\quad x\quad\quad\quad\quad\quad 4y\quad\quad\quad\quad\quad z\)
在缺項時可講其補全完整，即系數為\(0\)
超級愛考，主要有理數計算過關就好了，形式很多樣，主要還是要掌握技巧
二、拓展內容
1.多項式的一次因式求法之余數定理與有理根的求法
十分關鍵，與后面內容密切相關
1）余數定理
設多項式\(f(x)=\sum^{i\leq n}_{i=0}a_ix^{n-i}\)，其中\(a_i\)為系數。
當\(x-c\)為\(f(x)\)的一次因式時，則有：
其中，\(Q(x)為商式，r為一次余式\)
令\(x=c\)，
余式則有當\(f(c)為0時x-c為f(x)的因式，反之當x-c為f(x)的因式時，f(c)為0\)
2）有理根的求法
設\(f(x)為整系多項式，q是a_0的因數，p是a_n的因數，pq互質，若p-q是f(1)的因數，\frac{p}{q}是f(x)的根\)
證明：令\(x=1，\frac{p}{q}是f(x)的根\)就好了（逃
\(當首項或末項為1就很nice了，但字母系數就很惡心算的時候一定要細心\)
2.待定系數法
很笨很麻煩的做法，但的確能用（，本質其實就是解方程，項數多了就很痛苦
不建議多用，會很浪費時間
3.輪換與對稱式
挺妙的就，主要靠蒙（bushi
有關於\(x、y、z的多項式在x、y、z\)中任意兩個互換時保持不變稱為\(x、y、z\)的對稱式。
有關於\(x、y、z的多項式在x、y、z\)輪換時保持不變稱為\(x、y、z\)的輪換式，多元同理。
\(關於x、y、z的對稱式一定是關於x、y、z的輪換式，但關於x、y、z的輪換式一定是關於x、y、z的對稱式\)
兩個輪換式的和差積商均為輪換式。
齊次式
基本的輪換式，每一個輪換式都由它們所組成：
\(一次齊次輪換式——l(x+y+z)；\)
\(二次齊次輪換式——l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)；\)
\(三次齊次輪換式——l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+z^2x)+kxyz；\)
\(……（l，m，n，k均為待定常數）\)
非齊次式
可化為齊次式的和（差），再進行轉換
常用公式與推導
\(因式分解：a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(令a=-(b+c)，則原式=0，於是a+b+c為原式因式\)
\(設a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)]，\)
\(顯然，對比其中一項的系數可得l=1，m=-1，於是則有原式=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(也可寫成\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)
4.實數復數解集分解
5.既約多項式
艾氏判別法
\(設f(x)=\sum^{i\leq n}_{i=0}a_ix^i，是整系多項式\)
\(若有質數p滿足：①p不整除a_n②p整除a_i(0\leq i<n)③p^2不整除a_0\)
\(那么f(x)在\)有理數集內\(不可約\)
奇偶判別法
啊真的太多了，后面的慢慢寫吧(￢︿̫̿￢☆)