最近疯狂刷因式分解来总结一下
一、基础部分
1. 提取公因式
没啥好说的，为最基本的方法，对代数敏感点就好了，一定要一次提取净同时注意符号即可。
有一点可以注意的是：当有些项的系数为分数时，可提取出来，使得括号内部分系数为整数，更加简洁明了。
如：\(\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{27}x+\frac{10}{9}=\frac{1}{27}(9x^2+4x+30)\)
2. 应用公式
\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)
\(x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2)\)
\((x+y)^{n}=C_n^0x^ny^0\)
\((x+y)^n=\sum^{i<n}_{i=0}C_n^ix^{n-i}y^i\)（二项式定理）
\((x-y)^n=\sum^{i<n}_{i=0}(-1)^iC_n^ix^{n-i}y^i\)
\(a^n-b^n=(a-b)\sum^{i<n}_{i=0}a^{n-i-1}b^i, n∈Q\)
\(a^n+b^n=(a+b)\sum^{i<n}_{i=0}(-1)^ia^{n-i-1}b^i, n为奇\)
先提取完公因式后会舒服很多
3.分组与拆添项
有很多有趣的套路，多刷题多总结能为以后考试中节省许多时间
主要要观察式子的项数与系数，最常见的有：
\(·\)分组（看系数看未知数次数）
\(·\)无中生有（记得换回来）
\(·\)拆项
4.十字相乘
首先是最基本的相乘法，十分简洁明了，与乘法竖式十分相似，用的几率较大，应多加训练掌握一些技巧
如：\((10x^2+41x+4)=(10x+1)(x+4)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad 1\)
\(\quad\quad x\quad\quad\quad\quad\qquad 4\)
当式子为二元二次式时同理
如：\((10x^2+41xy+4y^2)=(10x+y)(x+4y)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\)
\(\quad\quad x\quad\quad\quad\quad\qquad 4y\)，
\((10x^2+41xy+4y^2+19x+37y+9)=(10x+y+9)(x+4y+1)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\quad\quad\quad\quad\quad 9\)
\(\qquad\quad x\quad\quad\quad\quad\quad 4y\quad\quad\quad\quad\quad 1\)
三元的也是
如：\((10x^2+41xy+4y^2+19xz+37yz+9z^2)=(10x+y+9z)(x+4y+1z)\)
\(\quad\quad10x\quad\quad\quad\quad\quad y\quad\quad\quad\quad\quad 9z\)
\(\qquad\quad x\quad\quad\quad\quad\quad 4y\quad\quad\quad\quad\quad z\)
在缺项时可讲其补全完整，即系数为\(0\)
超级爱考，主要有理数计算过关就好了，形式很多样，主要还是要掌握技巧
二、拓展内容
1.多项式的一次因式求法之余数定理与有理根的求法
十分关键，与后面内容密切相关
1）余数定理
设多项式\(f(x)=\sum^{i\leq n}_{i=0}a_ix^{n-i}\)，其中\(a_i\)为系数。
当\(x-c\)为\(f(x)\)的一次因式时，则有：
其中，\(Q(x)为商式，r为一次余式\)
令\(x=c\)，
余式则有当\(f(c)为0时x-c为f(x)的因式，反之当x-c为f(x)的因式时，f(c)为0\)
2）有理根的求法
设\(f(x)为整系多项式，q是a_0的因数，p是a_n的因数，pq互质，若p-q是f(1)的因数，\frac{p}{q}是f(x)的根\)
证明：令\(x=1，\frac{p}{q}是f(x)的根\)就好了（逃
\(当首项或末项为1就很nice了，但字母系数就很恶心算的时候一定要细心\)
2.待定系数法
很笨很麻烦的做法，但的确能用（，本质其实就是解方程，项数多了就很痛苦
不建议多用，会很浪费时间
3.轮换与对称式
挺妙的就，主要靠蒙（bushi
有关于\(x、y、z的多项式在x、y、z\)中任意两个互换时保持不变称为\(x、y、z\)的对称式。
有关于\(x、y、z的多项式在x、y、z\)轮换时保持不变称为\(x、y、z\)的轮换式，多元同理。
\(关于x、y、z的对称式一定是关于x、y、z的轮换式，但关于x、y、z的轮换式一定是关于x、y、z的对称式\)
两个轮换式的和差积商均为轮换式。
齐次式
基本的轮换式，每一个轮换式都由它们所组成：
\(一次齐次轮换式——l(x+y+z)；\)
\(二次齐次轮换式——l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)；\)
\(三次齐次轮换式——l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+z^2x)+kxyz；\)
\(……（l，m，n，k均为待定常数）\)
非齐次式
可化为齐次式的和（差），再进行转换
常用公式与推导
\(因式分解：a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(令a=-(b+c)，则原式=0，于是a+b+c为原式因式\)
\(设a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[l(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)]，\)
\(显然，对比其中一项的系数可得l=1，m=-1，于是则有原式=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(也可写成\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\)
4.实数复数解集分解
5.既约多项式
艾氏判别法
\(设f(x)=\sum^{i\leq n}_{i=0}a_ix^i，是整系多项式\)
\(若有质数p满足：①p不整除a_n②p整除a_i(0\leq i<n)③p^2不整除a_0\)
\(那么f(x)在\)有理数集内\(不可约\)
奇偶判别法
啊真的太多了，后面的慢慢写吧(￢︿̫̿￢☆)