因式分解應當分解到“底”，即應當把多項式分解為既約（不可約）多項式的乘積。怎樣算“既約”，這要由分解所在的數域決定。例如， \(x^2-3\) 沒有有理根，因而不能分解為兩個有理系數的一次因式的乘積，即在有理數域上 \(x^2-3\) 是既約多項式。若將其放在實數域內考慮，因為 \(x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\), 所以 \(x^2-3\) 不是實數域上的既約多項式。
前面我們的討論都是在有理數域上進行的。 下面我們看看實數域和復數域上的分解。
求根公式
一次多項式永遠是既約的。
關於 \(x\) 的二次三項式 \(ax^2+bx+c\) 在復數域上的因式分解非常簡單：根據求根公式 $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
我們就得到一個分解 $$ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right). \qquad (1)$$
在實數域上，若 \(b^2-4ac\geq 0\), \((1)\) 就是一個分解；若 \(b^2-4ac<0\), 那么 \(ax^2+bx+c\) 就是實數域上的一個既約多項式。
如果 \(b^2-4ac\) 不是有理數的平方，那么 \(ax^2+bx+c\) 就是有理數域上既約多項式。如果 \(b^2-4ac\) 是有理數的平方，那么 \(ax^2+bx+c\) 就可以分解。當然，這時候用十字相乘法更方便。
- 分解因式：\(2x^2-3x-7\).
因為 \(b^2-4ac=65>0\), \(65\) 不是有理數的平方，所以 \(2x^2-3x-7\) 是有理數域上的既約多項式。但在實數域和復數域上，它是可以分解的：
- 分解因式：\(2x^2-3x+7\).
因為 \(b^2-4ac=-47<0\), 所以 \(2x^2-3x+7\) 是實數域上的既約多項式。在復數域上它可分解為
- 分解因式：\(2x^2-3x-2\).
因為 \(b^2-4ac=25\) 是有理數的平方，所以原式可在有理數域上分解。利用十字相乘也可以得到結果
代數基本定理
在復數域上，每個形如 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) \((n>0)\) 的多項式至少有一個根。
由此可以很自然的得到
\(n\) 次多項式 \(f(x)\) 恰好有 \(n\) 個根.
這只是一個理論上的結果，具體操作起來還是很麻煩的。
單位根
根據代數基本定理，方程 \(x^3-1=0\) 有三個根，我們把 \(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) 記作 \(\omega\). 明顯的有 \(\omega^2+\omega+1=0\).
一個小結論：如果三次單位根 \(\omega\) 是 \(f(x)\) 的根，那么根據復根配對可知 \(x^2+x+1\) 就是 \(f(x)\) 的因式。
- 分解因式：\(x^5+x^4+x^2+x+2\).
經驗證可知 \(\omega\) 是原式的一個根，於是原式有因式 \(x^2+x+1\)。因此原式可在有理數域上分解為