这里主要讨论整系数的四次多项式。根据高斯引理，一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式之积，那么它必定可分解为两个整系数的因式之积。所以我们直接考虑有没有整系数因式就可以了。
二次因式
- 分解因式：\(x^4+x^3+2x^2-x+3\).
根据前面的知识，此式的有理根只可能是 \(\pm 1\), \(\pm 3\). 经过验证，它们都不是原式的根。因此原式没有有理根，即没有有理系数的一次因式。
因此我们设想它可分解为两个整系数的二次因式的乘积。因为原式是首一的，因此两个二次因式也应当是首一的，于是不妨设
\[x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d). \]
其中 \(a,b,c,d\) 都是整数。【2015.5.8注：原来的公式是错误的，现已修改。】
比较两边对应项的系数和常数项，可得
\[a+c=1\quad b+d+ac=2 \quad bc+ad=-1\quad bd=3 \]
这样的方程组通常是不好求解的。但我们这里有优势：各数都是整数！先从最后一个等式入手，然后逐步回代，联立方程。最后可得到分解
\[x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2-x+1)(x^2+2x+3). \]
这里有一点需要注意，一开始的 \(bd=3\) 可以得到两组解。如果其中一组解可以导出一个分解，那么另外一组解的情形就没必要再考虑了，因为分解是唯一的。（这里涉及复数的知识，不多提。）
再来看一个例子：
- 分解因式：\(2x^4-x^3+6x^2-x+6\).
由于首项系数为 \(2\), 所以不妨设
\[2x^4-x^3+6x^2-x+6=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d). \]
比较两边的系数及常数项，可得
\[2c+a=-1,\quad 2d+b+ac=6,\quad ad+bc=-1,\quad bd=6 \]
由最后一个式子我们可得 \(8\) 组 \(b, d\) 的值。经过试验发现 \(b=3\), \(d=2\) 可以导出一个分解
\[x^4-x^3+6x^2-x+6=(2x^2+x+3)(x^2-x+2). \]
根据前面的提醒，余下的几种情况就没必要再讨论了。
其实十字相乘法是这种方法的一种特殊情况，但比较简单。待定系数法是一种很基本的方法，应用范围非常广。这是一种方程思想，先以未知为已知，然后逆向求解。