第二章--網絡與圖(復雜網絡學習筆記)

網絡與圖

圖的定義

• 圖的數學表示:\(G=(V, E)\)
• 節點數: \(N=|V|\), 邊數\(M=|E|\)

圖的類型

• 按照邊的方向分為: 有向圖和無向圖
• 按照邊的權值分為: 加權圖和無權圖

簡單圖

本書重點介紹無權無向圖.

• 重邊: 兩個節點之間只有一條邊
• 自環: 沒有以同一個節點為起止點的邊
• 簡單圖:沒有重邊且沒有自環的圖
• 如下圖所示: 非簡單圖
  

簡單圖的兩種極端情形:

1. 空圖(Null Graph): 它有兩種定義,一是指沒有任何節點和連邊的圖;二是指沒有任何連邊的圖.
2. 完全圖(Complete Graph): 任意兩個節點之間都有一條連邊, 即邊數為\(\frac{1}{2}N(N-1)\)

稀疏網絡: 網絡中的邊數與\(N\)同階

圖的計算機表示

兩種最常見的網絡表示方法:鄰接矩陣(Adjacency Matrix)和鄰接表(Adjancency list)

1. 鄰接矩陣

令有一個N個節點的圖G, 那么其鄰接矩陣大小為\(N*N\),其中元素為

\[a_{ij}= \begin{cases} w_{ij}& \text{節點i指向節點j的邊的權值}\\ 0& \text{節點i與節點j之間沒有連邊} \end{cases}\]

如一個鄰接矩陣:

2. 鄰接表與三元組

鄰接表

在圖算法中,表示稀疏的無權圖最常用的方法就是鄰接表.

以網絡中的每個節點為單位, 生成一個對應的單鏈表。
例如有5個節點(1,2,3,4,5)的圖,其鄰接表表示如下:

三元組

三元組表示方法如下:

其第一行的(1,2,3)表示: 從節點1到節點2有一條權值為3的邊.

3. 共引網絡和文獻耦合

共引網絡(無向)

因為無向網絡的發展比較成熟, 所以一般把有向網路問題轉化為無向網絡來進行研究.

共引網絡: 假如有兩篇文獻.被一篇其他的文獻同時引用,那這兩篇文獻之間就會生成一條邊,生成網絡.

文獻耦合網絡

文獻耦合網絡: 假如有兩篇文獻, 他們共同引用了同一篇文獻, 那這兩篇文獻之間就會產生一條權值為1的邊.

4. 路徑和連通性

令一個無向網絡:\(G=(V, E)\)

1. 路徑(path): 指一個頂點到另一個頂點的路徑,表示為一個頂點序列\(P=V_1,....V_5\),
2. 回路(circuit): 起點和終點重合的路徑稱為回路.
3. 簡單路徑(simple path): 路徑中的頂點各不相同.
4. 圈(circle) : 圈是一個回路,一個圈只有起點和終點相同,其他都互不相同.

連通性(Connected)

• 連通圖: 任意兩個節點之間都存在一條路徑, 反之則為不連通的.

路徑和連通性的鄰接矩陣表示

網絡中的兩個節點之間往往可能存在不止一條路徑,並且每條路徑的長度可能也不一致.

• 設有鄰接矩陣\(A=(a_{ij})_{N*N}\)
• 怎樣求節點i和節點j是否有長度為2的路徑?

看下圖(連通性推導過程)

割集和Menger定理

在網絡科學研究中,網絡的魯棒性是一個重要課題.考慮以下:

如果在一個圖G中去除了一些邊和節點,那么之前給定的節點\(S和T\)之間是否仍然存在路徑(是否仍然處於同一個連通片)?

魯棒性的分析會在以后的章節給出,這里給出Menger定理.

Menger定理

給出下面兩種形式的定義:

• 點形式: 設頂點s和頂點t為圖中不相鄰的兩個節點,則使它們分別屬於不同的連通片所需要去除的頂點的最少數量等於連接頂點s和頂點t的獨立簡單路徑的最大數目.
• 邊形式: 所需要去除的邊的最少數目等於連通頂點s和頂點t的不同相交的簡單路徑的最大數目.

下面定理中的術語:

1. 兩個節點之間獨立簡單路徑: 所有路徑只有起始節點是一樣的,其他節點均不一樣的, 獨立簡單路徑之間互不相交
2. 點割集: 使得一對節點分別屬於不同的連通片所需去除的節點的集合叫做點割集
3. 邊割集: ..........................................邊............邊割集

有向圖的連通性

強連通: 任意一對頂點都有你來我往的兩條邊.
弱連通: 如果把有向圖中的邊直接轉換為無向的, 那么如果該無向圖是連通的,成為弱連通

生成樹與最小生成樹

樹

一個包含N個頂點的連通圖G至少包含N-1條邊, 如果這個連通圖剛好只有N-1條,這個圖就是個最簡單的連通圖,我們稱之為樹
一般地, 包含下面任意條件之一都可稱之為樹:

1. 圖G是連通的,只有N-1條邊
2. 圖G是連通的,不包含圈
3. 圖G是不包含圈,且只有N-1條邊
4. 圖G任意一對頂點只有一條路徑
5. 去掉圖G任意一條邊,都會使得圖G不連通

如下圖: 簡單連通圖,畫成樹的樣子.

廣度優先搜索算法

具體算法涉及數據結構算法,可自行查閱,大致思路如下圖:

最小生成樹

概念: 如果一個連通圖不是樹, 那么就可以看做是在一個樹的基礎上添加一些邊而形成的, 那么就引入了生成樹的概念.

• 連通圖的生成樹是該連通圖的一個子圖
• \(N\)個頂點的連通圖可能包含多個生成樹, 每個生成樹的邊數一定是\(N-1\)
• 一個完全圖的生成樹的數量有Caylay公式: \(\tau=N^{N-2}\)

生成樹的概念如果推廣到加權無向圖中, 那么

• 最小生成樹: 該生成樹的邊的權值最小的那個,
• 最小生成樹的數量不一定是唯一的, 當圖中邊的權值互不相同,那么必然只有唯一一種最小生成樹

最小生成樹的兩種方法（Kruskal算法和Prim算法）

參考博客: https://blog.csdn.net/a2392008643/article/details/81781766

二分圖和匹配問題

二分圖的定義

二分圖的匹配

比如以人員和資源分配問題 或者 學生選擇導師問題,可以構成二分圖的匹配問題.

穩定匹配

二分圖中穩定的完全匹配算法,內容包括穩定匹配的求解,穩定匹配的公平性,和穩定匹配的存在條件,可自行了解查閱資料