群論第二章（2）

第二章（2）

第二章（2）
1.5節 群的直乘和非固有點群 5.點群的Schönflies 分類及其之后的內容不考
1.群的直接乘積
直乘群:
a.定義
b.直乘群的例子：
c.直乘群的性質：
2.非固有點群
1)定義
2)非固有點群的性質
a.非固有點群G所包含的所有固有轉動元素形成的集合H是群G的子群。
b.非固有點群G中所有的非固有轉動元素只能屬於子群H的同一個陪集，不可能有兩個陪集。因此，子群H的指數為2，故它是非固有點群G的不變子群。
c.非固有點群分為兩類：
d.由一個固有點群 $G^{\prime }$得到非固有點群 $G$的方法（背）：
3.I型非固有點群的種類
4.P型非固有點群的種類
5.點群的Schönflies 分類
1）在與轉動軸k垂直的平面上的反射 ${\sigma }_k$等於繞k軸轉180度（用 $C_k(\pi )$表示）再反演i，即 ${\sigma }_k=i{C}_k(\pi )$
2）像轉軸（轉動反射軸）：
3）記號
4）I 型非固有點群的Schönflies 分類：
5）P型非固有點群的Schönflies 分類：

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1.5節 群的直乘和非固有點群 5.點群的Schönflies 分類及其之后的內容不考

1.群的直接乘積

直乘群:

a.定義

設H1 和H2 是 群G 的兩個子群

滿足三個條件：

(1) 除 恆 元 ${\mathit{R}}_1={\mathit{S}}_1=\mathit{E}$外 ，子 群 $H_1$和 $H_2$無 公 共元素

(2) 分 屬 兩子群的元素乘積可對易， 即 若 $R_i\in H_1,S_j\in H_2,\text{ 則 }{R}_i{S}_j=S_j{R}_i$

(3)群G的所有元素都可以寫成這兩個子群元素相乘的形式，也即群G 是所有形 如 $R_i{S}_j$的元素構成的集合{ $R_i{S}_j$}

注意“所有”兩個字，這是封閉性的要求。

則群G稱為 $H_1$和 $H_2$的直乘群 ， 記作

b.直乘群的例子：

c.直乘群的性質：

• 若群G為 $H_1$和 $H_2$的直乘群，則 $H_1$和 $H_2$都是群G的不變子群。

  證明：這是由不變子群的定義來證明，
  
  即要證明 $H_1$的所有左陪集都和對應的右陪集相等。
  

• 直乘群的階等於兩子群階的乘積， 即

  

• 
  因為恆元不太好說是公共的恆元，故群H1、H2作用在兩個不同自由度上時，不好說它們是直乘群，但若：
  
  比如自旋和軌道空間，此時這樣的直乘群中H1、H2有公共元素恆元R1S1，表示在自旋空間、軌道空間中都不動。

2.非固有點群

1)定義

非固有點群既包含非固有轉動元素，也包含固有轉動元素。
非固有轉動變換可以看作是固有轉動變換和空間反演i的乘積，而i可以與任何轉動變換對易，且其平方為恆元，因此，兩個非固有轉動元素的乘積是固有轉動元素，非固有轉動元素和固有轉動元素的乘積是非固有轉動元素。

i可以與任何轉動變換對易:比如先轉90再反演和先反演再轉90得到的結果一樣。

2)非固有點群的性質

a.非固有點群G所包含的所有固有轉動元素形成的集合H是群G的子群。

恆元、結合律、逆元都滿足，再判斷封閉性：兩個固有轉動相乘也是一個固有轉動，所以封閉性滿足。

b.非固有點群G中所有的非固有轉動元素只能屬於子群H的同一個陪集，不可能有兩個陪集。因此，子群H的指數為2，故它是非固有點群G的不變子群。

不可能有兩個陪集的證明：反證法：

而子群、陪集元素個數都相同，在G中有2h個非固有元素，h個固有元素，而AG中有2h個固有元素，h個非固有元素，故其實不等於G，這與重排定理矛盾，故得證。
另一種證明方法：

c.非固有點群分為兩類：

I型非固有點群：包含空間反演i的非固有點群G：

P型非固有點群：不包含空間反演i的非固有點群G

d.由一個固有點群 $G^{\prime }$得到非固有點群 $G$的方法（背）：

構成I型非固有點群G：將固有點群 $G^{\prime }$直乘 $V_2=E,i$構成I型非固有點群G。（背）
構成P型非固有點群G：若此固有點群 $G^{\prime }$包含指數為2的不變子群H，則將固有點群 $G^{\prime }$的所有陪集元素乘i，再和H的元素一起構成P型非固有點群 $G$。（背）（並且這樣得到的非固有點群 $G$一定和之前的固有點群 $G^{\prime }$同構。）
將所有可能的固有點群寫出來，看哪些固有點群包含有指數為2的不變子群，再由上面的方法即得到所有的P型非固有點群。

但老師沒有證明有沒有別的方法可以得到P型非固有點群。沒時間。

3.I型非固有點群的種類

• 固有點群共五類：
  
• I型非固有點群相應也分五類：
  

  阿貝爾群的每個元素自成一類

后面4個老師沒解釋

4.P型非固有點群的種類

• 所有可能的固有點群中，包含有指數為2的不變子群H的固有點群G共四類：
  
  注意中間兩種並不重復，一個是選不變子群為 $C_n$，一個是選不變子群為 $D_n$。

  

• P型非固有點 群相 應 也分四類：

  這里的R是固有點群G的陪集中的元素，將固有點群的所有陪集元素乘i，再和H的元素一起構成P型非固有點群。

約等號表示P型非固有點群和之前的固有點群同構。

5.點群的Schönflies 分類

研究晶體或分子對稱性時，常用Schönflies分類方法。（其實只是一種表示，和之前的內容一樣，只是取了新的名字）

1）在與轉動軸k垂直的平面上的反射 ${\sigma }_k$等於繞k軸轉180度（用 $C_k(\pi )$表示）再反演i，即 ${\sigma }_k=i{C}_k(\pi )$

證明：在三維坐標系中確實。

2）像轉軸（轉動反射軸）：

像轉軸（轉動反射軸）的物理意義：
繞k軸轉 $\frac{2\pi }{n}$再反射或繞k軸轉 $\frac{2\pi }{n}$，再轉 $\pi$，再空間反演

3）記號

• 點群最高階轉動軸稱為主軸，T群和I群例外，其一個二次軸為主軸；
  

  T群：3個坐標軸是正四面體的二次軸
  

• 主軸的方向取為豎直方向；含主軸的平面稱為鉛垂面，與主軸垂直的平面稱為水平面；
• 非固有點群中有包含關於水平面的反射（即前面說的反射等於關於主軸轉 $\pi$再反演）時，用下標h標記；h：horizontal水平的
• 非固有點群中不包含關於水平面的反射，但包含關於鉛垂面的反射（即水平面內含非固有二次軸）且水平面內有固有二次軸時，用下標d標記；
  

  固有二次軸：n次固有轉動軸：若繞空間固定軸轉動 $2\pi /n$角的變換R是系統的對稱變換，則軸稱為n次固有轉動軸
  非固有二次軸：一個反演乘二階的轉動元素的變換是系統的對稱變換，則軸稱為非固有二次軸
  關於鉛垂面的反射等價於水平面內含非固有二次軸，因為：
  

• 非固有點群中不包含關於水平面的反射，但包含關於鉛垂面的反射且水平面內沒有固有二次軸，用下標v標記；v：vertical垂直的
• 
• 若所有元素都可由像轉元素 $S_n$生成，則記為 $S_n$群。

4）I 型非固有點群的Schönflies 分類：

• 
  • n=1 時為無軸群{E, i} ， 記 為 $C_i$={E, i}
  • $n\ge 2$且n為偶數，此時此I型非固有點群中包含關於水平面的反射 （ 繞n 次軸 轉 $\pi$ 再反演 ） ，故將此I型非固有點群 ${\mathit{C}}_n\cup i\mathit{C}$記 為
    

    

  • $n\ge 2$且n為奇數，所有元素都可由像轉元素 $S_{2n}$生成，故將此I型非固有點群 ${\mathit{C}}_n\cup i\mathit{C}$記為
    
    

    
    

• 

  
  

  判斷有沒有關於水平面的反射就是要判斷有沒有繞主軸（豎直方向）轉 $\pi$再反演。n為奇數時沒有關於水平面的反射，再判斷水平面內有沒有固有二次軸。老師沒講，沒時間。

• 
  
• 
  
• 
  

  因為二次軸是主軸，所以有關於主軸轉180的，還有i反演，故有關於水平面的反射，故可以記為h

5）P型非固有點群的Schönflies 分類：

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