第二章-導數

1. 微分學
   1. 導數: 描述函數變化快慢
   2. 微分: 描述函數變化程度
2. 導數的概念
   1. 設函數y=f(x)在點x₀的某鄰域內有定義, 若lim(x->x₀)f(x) - f(x₀) / x-x₀ = lim(Δx -> 0)Δy/Δx存在, 則稱函數f(x)在點x₀處可導, 並稱次極限為y=f(x)在點x₀的導數, 記作: y'|x=x₀; f'(x₀); dy/dx|x=x₀;df(x)/dx|x=x₀
   2. y'| x=x₀=f'(x₀) = lim(Δx->0)Δy/Δx= lim(Δx->0)f(x₀+Δx) - f(x₀) / Δx = lim(k->0)f(x₀ + h) - f(x₀) /h
   3. 在導數的定義中, 雖然x可以取區間I內的任何數值, 但在極限的過程中, x是常量, Δx或h是變量, 函數f(x)在點x₀處的導數f'(x₀)就是導函數f'(x)在點x=x₀除的函數值,即f'(x₀) = f'(x)|x=x₀
   4. (C)' = 0
   5. a^xlim(h->0)(a^h - 1)/h = a^xlna
   6. (e^x )'= e^x
   7. 一般冪函數 y = x^μ(μ為常數) (x^μ)' = μx^μ-1
   8. (sinx)' = cosx
   9. (cosx)' = -sinx
   10. (lnx)' = 1/x
   11. (tanx)' = sec²x
   12. (cscx)' = -cscxcotx
   13. (cotx)' = -csc²x
   14. (secx)' = secxtanx
   15. (xu)' = (eulnx)' x (ulnx)' = (x^u ) x (u/x) = ux^u-1
   16. (x^x)' = (e^xlnx)' = (e^xlnx) x (xlnx)' = x^x(lnx+1)
   17. (shx)' = (e^x - e^-x)/2 = (e^x + e^-x)/ 2 = chx 
   18. (arctanx)' = 1/(1+x²)
   19. (arcsinx)' = 1/(1-x²)^1/2
   20. (arccosx)' = -1/(1-x²)^1/2
   21. (arccotx)' = -x/(1+x²)
   22. secx = 1/cosx
   23. cscx = -1/sinx
   24. sin(x)⁽ⁿ⁾ = sin(x+n/2π)
   25. cos(x)⁽ⁿ⁾ = cos(x+n/2π)
3. 導數的幾何意義
   1. 曲線y=f(x)在點(x₀,y₀)的切線斜率為: tanα = f'(x₀)
   2. 若f'(x₀) > 0,曲線過(x₀, y₀)上升;
   3. 若f'(x₀) < 0,曲線過(x₀,y₀)下降;
   4. 若f'(x₀) = 0,切線與x軸平行, x₀稱為駐點;
   5. 若f'(x₀) = ∞, 切線與x軸垂直.
   6. f'(x) ≠ ∞時, 曲線在點(x₀, y₀)處的:
      1. 切線方程: y - y₀ = f'(x₀)(x-x₀)
      2. 法線方程: y - y₀ = - 1/f'(x₀)(x-x₀)
4. 函數的可導性與連續性的關系
   1. 定理1: f(x)在點x處可導 ==> f(x)在點x處連續
5. 單側導數
   1. 定義2: 設函數y=f(x)在點x0的某個右(左)領域內有定義, 則說明該函數在點x₀處的右(左)導數記作f_'+(x₀)*f'_(x⁰)
   2. 定理2: 函數y=f(x)在點x0可導的充分必要條件是f'+(x₀)與f'_(x)存在, 且f'+(x₀) = f'_(x₀)
   3. 定理3: 函數f(x)在點x₀除右(左)導數存在==> f(x)在點x₀必右(左)連續, 若函數f(x)在開區間(a,b)內可導, 且f'₊(a)與f'_(b)都存在, 則稱f(x)在閉區間[a,b]上可導
6. 四則運算求導法則
   1. 定理1: 函數u= u(x)及v = v(x)的和,差,積,商(除分母為0的點外)都在點x可導, 且
      1. [u(x) ± (x)]' = u(x)' ± v(x)'
      2. [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
      3. [u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v²(x) (v(x) ≠ 0)
   2. 推論:
      1. (Cu)' = Cu' (C為常數)
      2. (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
      3. (log_ax)' = [inx / ina] = 1/xlna
      4. (C/v)' = -Cv' / v² (C為常數)
      5. (u + v -w)' = u' + v' - w'
   3. 定理2: u = g(x)在點x可導, y=f(u)在點u=g(x)可導 ==> 復合函數 y = f[g(x)]在點x可導, 且dy/dx = f'(u)g'(x)
   4. 推論: y = f(u), u=Φ(x), v=Ψ(x)
      1. dy/dx = (dy/du) _{^{x (du/dv) x (dv/dx) = f'}}(u) x Φ'(v) x Ψ'(x)
7. 高階導數
   1. 若函數y=f(x)的導數為y' = f'(x)可導,則稱f'(x)的導數為f(x)的二階導數,記作y''或d²y/d²x, 即y'' = (y')'或d²y/d²x=d/dx(dy/dx)
   2. 類似的, 二階導數的導數稱為三階導數, 以此類推, n-1階導數稱為n階導數, 分別記作: y''', y⁽⁴⁾, ..., y⁽ⁿ⁾
8. 高階導數的運算法則
   1. 設函數u = u(x)及v=v(x)都有n階導數, 則
      1. (u±v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾
      2. (Cu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾ (C為常數)
      3. (uv)(n) = u⁽ⁿ⁾v + nu^(n-1)v' + n^(n-1)/2! u^(n-2)v'' + ...+ [n(n-1)...(n-k+1)] / k! u^(n-k)v^(k) +...+ uv⁽ⁿ⁾    ===> 萊布尼茲公式
9. 隱函數導數的概念
   1. 若方程F(x,y) = 0, 可確定y是x的函數, 則稱次函數為隱函數, 由y=f(x)表示的函數,稱為顯函數
   2. 說明: 
      1. 對冪指函數 y=u^v可用對數求導法求導 
10. 微分中值定理與導數的應用
    1. 羅爾中值定理
       1. y=f(x)滿足:
          1. 在區間[a,b]上連續
          2. 在區間(a,b)內可導
          3. f(a) = f(b)
       2. 在(a,b)內至少存在一點ξ,使f'(ξ) = 0
    2. 定理的條件使充分的, 可推廣為:
       1. y = f(x)在(a,b)內可導, 且lim(x->a⁺)f(x) = lim(x->b^-)f(x)在(a,b)內至少存在一點ξ, 使得f'(ξ) = 0
    3. 證明提示:
       1. 設F(x) = 
          1. f(a⁺), x = a
          2. f(x), a<x<b
          3. f(b^-),x=b
       2. 證F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理
    4. 拉格朗日中值定理
       1. y = f(x)滿足:
          1. 在區間[a,b]上連續
          2. 在區間(a,b)內可導
       2. ==>至少存在一點ξ€(a,b),使f'(ξ)=[f(b) - f(a)] / (b-a)
11. 洛必達法則
    1. 0/0型未定式
       1. 定理1>
          1. lim(x->a)f(x) = limF(x)=0
          2. f(x)與F(x)在U(a)內可導,且F'(x)≠0
          3. lim(x->0)f'(x)/F'(x)存在(或為∞)
          4. ==> lim(x-a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f'(x)/F'(x)     (洛必達法則)
       2. 推論1:
          1. 定理1中x->a換為, x->a+, x->a-, x->∞, x->+∞, x->-∞, 定理1仍然成立
       3. 推論2:, 若limf'(x)/F(x)扔屬於0/0型, 且f'(x),F'(x)滿足定理1條件, 則
          1. limf(x)/F(x) = limf'(x)/F'(x) = limf''(x)/F''(x)
    2. ∞/∞未定式
       
       1. 定理2:
          1. lim(x->a)|f(x)|=lim(x->a)|F(x)|=∞
          2. f(x)與F(x)在U(a)內可導, 且F'(x)≠0
          3. lim(x->a)f'(x)/F'(x)存在(或為∞)
          4. ==>lim(x->a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f''(x)F'(x)
    3. 使用洛必達法則需要注意的幾個問題
       1. 使用洛必達法則之前, 應該先檢驗其條件是否滿足
       2. 如果使用洛必達法則之后, 命題仍是未定型極限,且符合洛必達法則的條件,可以再次使用洛必達法則
       3. 如果'0/0'型或者'∞/∞'極限中含有非零因子, 該非零因子可以單獨求極限, 不必參與洛必達法則運算, 以簡化運算
       4. 如果能進行等價無窮小代換或恆等變形配合使用洛必達法則,也可以簡化運算
12. 函數的單調性與曲線的凹凸性
    1. 定理1: 設函數f(x)在開區間I內可導, 若f'(x)>0, (f'(x)<0), 則f(x)在I內單調遞增(遞減)
13. 曲線的凹凸與拐點
    1. 定義: 設函數f(x)在區間I上連續, 任意x₁, x₂€I
       1. 若恆有f[(x₁+x₂)/2] < [f(x₁) + f(x₂)] / 2,則稱f(x)的圖形使凹的
       2. 若恆有f[(x₁+x₂)/2] > [f(x₁) + f(x₂)] / 2,則稱f(x)的圖形使凸的
       3. 連續曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點
    定理2: (凹凸判定法)設函數f(x)在區間I上由二階導數
    1. 在I內f''(x)>0, 則f(x)在I內圖形是凹的;
    2. 在I內f''(x)<0, 則f(x)在I內圖形是凸的.
    2. 說明:
       1. 若在某點二階導數為0, 在其兩側二階導數不變號, 則曲線的凹凸性不變
       2. 根據拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:
          1. 若曲線y=f(x)在點x₀連續, f''(x)=0或不存在,但f''(x)在x₀兩側異號, 則點(x_0, f(x₀))是曲線y=f(x)的一個拐點
14. 函數的極值與最大值最小值
    1. 函數的極值極其求法. 定義: 設函數f(x)在(a,b)內有定義, x₀ € (a,b),若存在x0的一個鄰域, 在其中當x≠x₀時,
       1. f(x) < f(x₀), 則稱x0為f(x)的極大值點, 稱f(x₀)為函數的極大值;
       2. f(x)>f(x₀),則稱x0圍毆f(x)的極小值點, 稱f(x₀)為函數的極小值.
       3. 極大值與極小值統稱為極值點
    2. 定理1: 設函數f(x)在x₀的某鄰域內連續, 且在空心鄰域內有導數, 當x由小到大通過x₀時,
       1. f'(x)"左正由負", 則f(x)在x₀取極大值
       2. f'(x)"左負右正", 則f(x)在x₀取極小值
    3. 定理2: 設函數f(x)在點x₀處具有二階導數, 且f'(x0)=0, f''(x)≠0
       1. 若f''(x₀)<0, 則f(x)在點x₀取極大值
       2. 若f(x₀)>0, 則f(x)在點x₀取極小值