群論第二章考前復習總結

第二章考前復習總結

第二章考前復習總結
1.1節 群
1.對稱變換：保持系統不變的變換。（背）
2. 群是一個集合，其中定義了元素的“乘積”法則，這個集合G滿足4個條件：封閉性、結合律、存在恆元、逆元，這個集合就稱為群。（背）
U(n)群：全體n維幺正矩陣的集合。
O(n)群：全體n維實正交矩陣的集合。
6)乘積的逆：
9)有限群的階：有限群中的元素數目
4.循環群及其生成元
1）循環群：由一個元素 R 及其冪次構成的有限群，記作 $C_n$。（背）
1）元素R 的周期：由有限群的任一元素 R 及其冪次生成的集合。
2）有限群的生成元：有限群的群元素可以由最小數目個群元素的乘積生成
3）有限群的秩：生成元的個數
4）有限群生成元的選擇並不唯一，但秩不變。
6.有限群的重排定理
1）復元素：把有限群部分元素的集合 $\{R_1,R_2,\dots ,R_m\}$看作一個整體
2）群的重排定理（考試簡答題）
7.同構
3）循環群的乘法表
4）四階群（即有4個元素的有限群）只有兩種：若四階群中含四階元素，則為 $C_4$群、若四階群中不含四階元素，則為 $V_4（D_2）$群
$V_4（也稱D_2）$群：一個恆元加3個2階元素。其為：
5）准確到同構，六階群只有兩種：若含六階元素，則是 $C_6$群、若不含六階元素，則是 $D_3$群。
$D_3$群是最簡單的非阿貝爾群。
6）正N邊形對稱變換群—— $D_N$群
$D_N$群的乘法表
1.2節 群的各種子集
1.子群
2）判斷有限群的子集是否構成子群，只需檢驗子集是否滿足封閉性
4）任一元素的周期構成循環子群
5）尋找有限群的子群的最好辦法：（背）
a.列出全部循環子群
b.把若干個循環子群並起來
c.看它們是否滿足封閉性（判斷是否滿足封閉性：判斷其中每一個元素的周期是否都在里面，再判斷某兩個元素的乘積是否會出去）。恆元、拉定理、封閉性。
6）常見群的子群的例子。注意枚舉
2.陪集和不變子群
1） 左陪集 和 右陪集
3）拉格朗日定理：子群的階數是群G的階數的因子（背，考試簡答題），g=dh，其中d稱為子群H的指數。
4）不變子群
a.阿貝爾群的所有子群都是不變子群（背）。
b.指數為2的子群一定是不變子群（背）。
c.不變子群與類的關系：不變子群必然由若干個完整的類組成 （背）。由若干個完整的類組成的若是一個子群，則必然是不變子群。（這個性質可以用來判斷不變子群）
6）商群
7）從乘法表找子群的陪集：
（考試和作業中經常有這個題，隨便給一個群進行分析，記住這個例題的過程）求 $D_3$群的所有子群及其陪集，判斷不變子群：
3.共軛元素和類
1）共軛
定義：對群G中的兩個元素 $R$和 $R{}^{\prime }$，如果在群G中存在一個元素S，使得 $R$和 $R{}^{\prime }$可以通過 $R^{\mathrm{\prime }}=SR{S}^{-1}$聯系起來，則稱 $R$和 $R{}^{\prime }$共軛，記為 $R\sim R{}^{\prime }$ （背）
2）類
a.定義：所有相互共軛的元素形成的集合
3）相逆類、自逆類
4）用乘法表判斷兩元素是否共軛、用乘法表找出類：
5）系統對稱變換群 $D_N$群的類
a.等價軸：一般地，若兩個同次軸的正方向可以通過對稱群中的元素聯系起來，則這兩個轉動軸稱為等價軸。（背）
b.雙向軸
6）尋找有限群的類和不變子群的步驟
a.不變子群與類的關系：不變子群必然由若干個完整的類組成 （背）。由若干個完整的類組成的若是一個子群，則必然是不變子群。（這個性質可以用來判斷不變子群）
b.尋找有限群的類的步驟：
c.尋找有限群的不變子群的步驟：
1.3節 群的同態關系
1.群的同態：
2.同態核定理：若G‘與G同態 ，則與G‘恆元對應的G中元素的集合H構成群G的不變子群
3.集合G‘與群G的同構或同態
1.4節 正多面體的固有對稱變換群
1.固有轉動：三維空間中保持坐標原點不變、保持手性不變、保持任意兩點間的距離不變的轉動稱為固有轉動。
2.非固有轉動：若轉動后再做空間反演
3.點群：讓體系的一個點保持位置不變的操作構成的變換群。
4.固有點群：固有轉動的集合，包括 $C_N$群、 $D_N$群及正多面體固有對稱變換群。
5.非固有點群：由固有轉動和非固有轉動的集合
6.正多面體
1）定義：各個面都是全等的正多邊形的多面體
a.如果兩個正多面體互相對偶，則它們的對稱變換群相同。（背）
c.正N面體的固有點群的階數為2L。L：棱數
7.正四面體固有點群—T群
8.立方體和正八面體固有點群—O群
9.正十二 、 二十面體固有點 群—I 群
1.5節 群的直乘和非固有點群
1.群的直接乘積
直乘群:
c.直乘群的性質：
2.非固有點群
a.非固有點群G所包含的所有固有轉動元素形成的集合H是群G的子群；子群H的指數為2，故它是非固有點群G的不變子群。
b. 非固有點群分為兩類：
d.由一個固有點群 $G^{\prime }$得到非固有點群 $G$的方法（背）：

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1.1節 群

1.對稱變換：保持系統不變的變換。（背）

正三角形所有對稱變換的集合構成 $D_3$群，，所有對稱變換只有6個：

2. 群是一個集合，其中定義了元素的“乘積”法則，這個集合G滿足4個條件：封閉性、結合律、存在恆元、逆元，這個集合就稱為群。（背）

任何兩個元素相乘還在這個集合中（背）
任意元素乘恆元等於這個元素（背）
元素乘逆元等於恆元。（背）

U(n)群：全體n維幺正矩陣的集合。

幺正：

O(n)群：全體n維實正交矩陣的集合。

正交：，實正交：矩陣元是實數

6)乘積的逆：

9)有限群的階：有限群中的元素數目

4.循環群及其生成元

1）循環群：由一個元素 R 及其冪次構成的有限群，記作 $C_n$。（背）

n：循環群的階，即有限群的元素個數。
R：循環群的生成元

• 循環群的階和其生成元的階相等。

  生成元的階是滿足的最小正整數n。

• 循環群都是阿貝爾群（阿貝爾群不一定是循環群）。
• 繞空間固定軸轉動 $2\pi /n$角的變換R生成的群是一個n階循環群 $C_n$群
• n次固有轉動軸：若繞空間固定軸轉動 $2\pi /n$角的變換R是系統的對稱變換，則軸稱為n次固有轉動軸（n次軸），此時轉動R稱為n次轉動
  軸的方向：轉動R由右手螺旋法則得到，大拇指指向軸的正方向。

1）元素R 的周期：由有限群的任一元素 R 及其冪次生成的集合。

2）有限群的生成元：有限群的群元素可以由最小數目個群元素的乘積生成

3）有限群的秩：生成元的個數

4）有限群生成元的選擇並不唯一，但秩不變。

在驗證B=DA這種關系時，正三角形的三個字母必須畫成：
這種情況。

6.有限群的重排定理

1）復元素：把有限群部分元素的集合 $\{R_1,R_2,\dots ,R_m\}$看作一個整體

2）群的重排定理（考試簡答題）

設T是群G = {E, R, S, …}中任一確定元素，則下面三個集合與原群G相同 （背）

即 $TG=GT=G^{-1}=G$（背）

復元素的逆是每個元素取逆

7.同構

元素是對應的，在這種對應規則下，元素的乘積也是對應的。群G和 $G^{\mathrm{\prime }}$同構，
記為 $G\approx G^{\mathrm{\prime }}$。（背）

3）循環群的乘法表

$C_2\approx V_2$

4）四階群（即有4個元素的有限群）只有兩種：若四階群中含四階元素，則為 $C_4$群、若四階群中不含四階元素，則為 $V_4（D_2）$群

$V_4（也稱D_2）$群：一個恆元加3個2階元素。其為：

5）准確到同構，六階群只有兩種：若含六階元素，則是 $C_6$群、若不含六階元素，則是 $D_3$群。

• a.含零個三階元素，即群只含一個恆元加5個二階元素。這種情況不成立。
  

$D_3$群是最簡單的非阿貝爾群。

二階群只有 $C_2$群，三階群只有 $C_3$群、四階有兩個： $C_4$群、 $V_4（D_2）$群、五階群只有 $C_5$群，由這些群的乘法表知（乘法表沿對角線對稱），二階、三階、四階、五階的群都是阿貝爾群。

6）正N邊形對稱變換群—— $D_N$群

1個N次軸，N個二次軸。
繞N次軸轉動的對稱變換的集合：

繞N個二次軸轉動的對稱變換的集合：

$D_N$群有2N個元素

$D_N$群的乘法表

（背，重要） $T^N=S_j^2=E$、 $T^m{S}_j=S_{j+m}$
由上面乘積規則可以得到乘法表。
$D_N$群的階為2N，秩為2，生成元可取T, $S_0$

1.2節 群的各種子集

1.子群

2）判斷有限群的子集是否構成子群，只需檢驗子集是否滿足封閉性

4）任一元素的周期構成循環子群

5）尋找有限群的子群的最好辦法：（背）

a.列出全部循環子群

b.把若干個循環子群並起來

c.看它們是否滿足封閉性（判斷是否滿足封閉性：判斷其中每一個元素的周期是否都在里面，再判斷某兩個元素的乘積是否會出去）。恆元、拉定理、封閉性。

6）常見群的子群的例子。注意枚舉

我通過上面“尋找有限群的子群的最好辦法”求出了確實這些群的子群是這些。

2.陪集和不變子群

1） 左陪集 和 右陪集

子 群H 記 為

任取群G中不在子群H中的元素 $R_j$，把它左乘或右乘到子群H上（背）

• 陪集與子群無公共元素。
• 兩個有公共元素的左陪集必然全相同。
  逆否命題：不相同的左陪集 $\Rightarrow$沒有公共元素
• （背，重要性質，很有用）有限群G一定可分解為子群H和若干個左陪集 $R_{j}H$之並，這些子集間沒有公共元素，每個子集包含h個不同元素：
  

3）拉格朗日定理：子群的階數是群G的階數的因子（背，考試簡答題），g=dh，其中d稱為子群H的指數。

群的階數為素數的群沒有非平庸子群。
群的階數為素數的群只有一種，就是循環群

4）不變子群

若子群H的所有的左陪集都和對應的右陪集相等（背），即對群G中不在子群H中的任意一個元素 $R_j$，都有 $R_{j}H=H{R}_j$，則此子群H是原群G的不變子群H

a.阿貝爾群的所有子群都是不變子群（背）。

b.指數為2的子群一定是不變子群（背）。

c.不變子群與類的關系：不變子群必然由若干個完整的類組成 （背）。由若干個完整的類組成的若是一個子群，則必然是不變子群。（這個性質可以用來判斷不變子群）

6）商群

商群：不變子群H及其所有不同的陪集，構成一個復元素的集合，定義復元素的乘積規則： $(R_{j}H)(R_{k}H)=(R_j{R}_k)H$，這個由復元素構成的群稱為群G關於不變子群H的商群，記作G/H
商群的恆元是不變子群H。
商群的階數是不變子群H的指數。

7）從乘法表找子群的陪集：

群G的乘法表中與子群H的元素有關的各列中，每一行的元素要么構成子群，要么構成左陪集；G的乘法表中與子群H的元素有關的各行中，每一列的元素要么構成子群，要么構成右陪集。(背)

（考試和作業中經常有這個題，隨便給一個群進行分析，記住這個例題的過程）求 $D_3$群的所有子群及其陪集，判斷不變子群：

先由拉定理知，子群的階數只能是2或3.
當子群階數是3時，由於3階群只有一種： $C_3$群，而由於 $C_3$群是一個恆元加兩個三階元素，故這里的3階子群只能是{E,D,F}，D,F才是三階元素。由於{E,D,F}指數是2，故其是不變子群。
當子群的階數是2時，除了恆元外，為滿足封閉性，另一個元素一定是二階元素，故這里的2階子群是{E, A}、{E, B}、{E, C}。

注意分析子群階數、元素的階數。

由乘法表可以寫出{E, A}、{E, B}、{E, C}的陪集，由於所有左陪集和右陪集並不對應相等，故它們不是不變子群。

3.共軛元素和類

1）共軛

定義：對群G中的兩個元素 $R$和 $R{}^{\prime }$，如果在群G中存在一個元素S，使得 $R$和 $R{}^{\prime }$可以通過 $R^{\mathrm{\prime }}=SR{S}^{-1}$聯系起來，則稱 $R$和 $R{}^{\prime }$共軛，記為 $R\sim R{}^{\prime }$ （背）

• 相互性： $R\sim R{}^{\prime }$則 $R{}^{\prime }\sim R$
• 傳遞性：與同一元素共軛的元素也相互共軛

2）類

a.定義：所有相互共軛的元素形成的集合

• 一個類可以被其中任意一個元素所確定。尋找類中所有元素的方法：對一個類中元素R，取群G中的一個元素S，求出 $SR{S}^{-1}$，當S取遍G中的所有元素時，R的所有同類元素就一個一個都出現了
• 恆元自成一類
• 阿貝爾群的每個元素自成一類。
• 兩個類沒有公共元素；
• 同類元素的階相同（但階數相同的元素不一定在同一類）

3）相逆類、自逆類

類中的所有元素的逆組成一個集合，這個集合構成類，記作類。類與類稱為相逆類（背）
自逆類：類與類重合（背）

4）用乘法表判斷兩元素是否共軛、用乘法表找出類：

關於對角線對稱的元素在一個類中，由此就可以根據乘法表找出類。

5）系統對稱變換群 $D_N$群的類

元素R是繞n方向轉動2pi/N角的變換， 元素S將n方向轉到m方向
表示繞m方向轉動2pi/N角的變換，m方向顯然也是系統的N次轉動軸。

a.等價軸：一般地，若兩個同次軸的正方向可以通過對稱群中的元素聯系起來，則這兩個轉動軸稱為等價軸。（背）

注意，這里等價軸定義中說的的對稱群是這個形狀對應的對稱群

b.雙向軸

一個軸的正反兩個方向可以通過對稱群中的元素聯系起來（背）

• 二次軸沒有極性的概念，注意：不考慮二次軸是否雙向軸（背）
• 繞等價軸轉相同角度的變換互相共軛。（背）
• 繞雙向軸正轉、逆轉相同角度的變換互相共軛。（背）
  例：D4群的類
  D4群包含1個四次軸和4個二次軸。
  繞二次軸的轉動使四次軸是雙向軸，繞四次軸的轉動使4個二次軸分成兩組（對角線連線和對邊中點連線），分別互相等價。

D4群有5個類：恆元一個類，繞四次軸轉動分為兩個類，繞二次軸轉動也分為兩個類。
恆元自成一類{E}。
繞四次軸正、逆轉pi/2的T和 $T^3$構成一類，繞四次軸正、逆轉pi的 $T^2$構成一類{ $T^2$}。
繞二次軸對角線轉動的S0和S2構成一類，繞對邊中點連線轉動的S1和S3構成一類。

因為“繞雙向軸正轉、逆轉相同角度的變換互相共軛”，四次軸是 雙 向軸，故繞四次軸正、逆轉pi/2的T和 $T^3$構成一類（正轉270度就是逆轉90度），繞四次軸正、逆轉pi的 $T^2$構成一類{ $T^2$}。
S0和S2可以通過對稱群中的元素“轉90度”而等價，S1和S3也可以通過對稱群中的元素“轉90度”而等價。但S0和S1這兩種不等價，前面“同次軸不一定是等價軸”有解釋。由於繞等價軸轉相同角度的變換互相共軛，故S0和S2構成一類，S1和S3構成一類。

6）尋找有限群的類和不變子群的步驟

a.不變子群與類的關系：不變子群必然由若干個完整的類組成 （背）。由若干個完整的類組成的若是一個子群，則必然是不變子群。（這個性質可以用來判斷不變子群）

b.尋找有限群的類的步驟：

法一：從乘法表判斷兩元素是否共軛、從乘法表來尋找
法二：從“同類元素的階相同”來尋找
(1)先確定每個元素的階（即判斷多少次方等於E），
(2)在階數相同的元素中判斷其是否共軛，從而找到所有共軛類。

c.尋找有限群的不變子群的步驟：

法一：根據乘法表和不變子群的性質、定義（所有左陪集都和對應的右陪集相等）來尋找，見不變子群一節的7）從乘法表找子群的陪集。
法二：根據“不變子群必然由若干個完整的類組成（背）”來尋找。
**(1)將若干個類並起來
(2)判斷其是否構成子群（若構成子群，則是不變子群）：

• 是否包含恆元
• 是否滿足拉定理：子群的階數是群階數的因子
• 是否包含每一元素的完整周期，是否滿足封閉性**

法三：若已經知道了子群，則從子群中根據“不變子群必然由若干個完整的類組成（背）”來尋找。
例 ：D4 群的非平 庸 不變子 群 {E, T2} {E, T, T2, T3} {E, T2, S0, S2} {E, T2, S1, S3}


已知乘積規則中的前兩個公式 $T^N=S_j^2=E$、 $T^m{S}_j=S_{j+m}$，就能推導出其他兩個乘積規則，所以 $S_0{S}_2$可以推導出來。
系統對稱變換群 $D_N$群
N為偶數時，即N=2n：一個N次軸是雙向軸，N個二次軸分成兩組（對角線和對邊中點連線），分別互相等價。比如 $D_4$群.
N為奇數時，即N=2n+1：一個N次軸是雙向軸，N個二次軸互相等價。

1.3節 群的同態關系

1.群的同態：

群 $G^{\mathrm{\prime }}$與群G中的元素是一多對應的，在這種對應規則下，元素的乘積也是一多對應的。（背）
群 $G^{\mathrm{\prime }}$與群G同態，記為 $G^{\mathrm{\prime }}\sim G$, G中的元素更多 （因為群 $G^{\mathrm{\prime }}$與群G中元素是”一多對應的“，背，重要）

2.同態核定理：若G‘與G同態 ，則與G‘恆元對應的G中元素的集合H構成群G的不變子群

3.集合G‘與群G的同構或同態

集合G‘和群G中的元素是一一或一多對應的，在這種對應規則下，元素的乘積也是一一或一多對應的，則一堆元素的集合G‘也是一個群，是與群G同構或同態的群。（背）

1.4節 正多面體的固有對稱變換群

1.固有轉動：三維空間中保持坐標原點不變、保持手性不變、保持任意兩點間的距離不變的轉動稱為固有轉動。

2.非固有轉動：若轉動后再做空間反演

3.點群：讓體系的一個點保持位置不變的操作構成的變換群。

4.固有點群：固有轉動的集合，包括 $C_N$群、 $D_N$群及正多面體固有對稱變換群。

5.非固有點群：由固有轉動和非固有轉動的集合

O(3)群：三維空間的所有轉動+空間反演。故非固有點群是O(3)群的有限子群。

6.正多面體

1）定義：各個面都是全等的正多邊形的多面體

正多面體只有5種：4，6，8，12，20.
正多面體的所有對稱變換群只有這三種：T、O、I群

a.如果兩個正多面體互相對偶，則它們的對稱變換群相同。（背）

正四面體與自己對偶，是自對偶圖形；正六面體的對偶圖形是正八面體，注意互相對偶；正十二面體的對偶圖形是正二十面體。

c.正N面體的固有點群的階數為2L。L：棱數

7.正四面體固有點群—T群

T群有12個元素

• T群的類：
  恆元是一類，
  繞3個二次軸轉動的3個元素是一類，

  （由於3個二次軸等價，繞等價軸轉相同角度的變換在一個類中）

繞4個三次軸正、逆向轉動的8個元素分成兩類：繞4個三次軸正轉2pi/3的元素在一個類中，逆轉2pi/3的元素在一個類中。

（由於4個三次軸等價，繞等價軸轉相同角度的變換在一個類中）

故T群有4個類。前2個類是自逆類，后2個類是相逆類。

• T群關於不變子群的商群： $C_3$群

  由於每個復元素中元素數目都相等，為4，故商群是3階群（3個元素），由於3階群只有一種，故商群為 $C_3$群

8.立方體和正八面體固有點群—O群

• 3個四次軸、4個三次軸、6個二次軸
  有24個元素，5個類。

9.正十二 、 二十面體固有點 群—I 群

1.5節 群的直乘和非固有點群

1.群的直接乘積

直乘群:

設H1 和H2 是 群G 的兩個子群，滿足三個條件：
(1) 除 恆 元 ${\mathit{R}}_1={\mathit{S}}_1=\mathit{E}$外 ，子 群 $H_1$和 $H_2$無 公 共元素
(2) 分 屬 兩子群的元素乘積可對易， 即 若 $R_i\in H_1,S_j\in H_2,\text{ 則 }{R}_i{S}_j=S_j{R}_i$
(3)群G的所有元素都可以寫成這兩個子群元素相乘的形式
則群G稱為 $H_1$和 $H_2$的直乘群 ， 記作

c.直乘群的性質：

• 若群G為 $H_1$和 $H_2$的直乘群，則 $H_1$和 $H_2$都是群G的不變子群。
• 直乘群的階等於兩子群階的乘積， 即

2.非固有點群

非固有轉動變換可以看作是固有轉動變換和空間反演i的乘積，而i可以與任何轉動變換對易

a.非固有點群G所包含的所有固有轉動元素形成的集合H是群G的子群；子群H的指數為2，故它是非固有點群G的不變子群。

b. 非固有點群分為兩類：

I型非固有點群：包含空間反演i的非固有點群G：
P型非固有點群：不包含空間反演i的非固有點群G

d.由一個固有點群 $G^{\prime }$得到非固有點群 $G$的方法（背）：

構成I型非固有點群G：將固有點群 $G^{\prime }$直乘 $V_2=E,i$構成I型非固有點群G。（背）
構成P型非固有點群G：若此固有點群 $G^{\prime }$包含指數為2的不變子群H，則將固有點群 $G^{\prime }$的所有陪集元素乘i，再和H的元素一起構成P型非固有點群 $G$。（背）

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