第二章 樹
一、樹的概念與性質
定義1 不含圈的圖稱為無圈圖，樹是連通的無圈圖。
定義2 稱無圈圖G為森林。
注: (1) 樹與森林都是單圖;
(2) 樹與森林都是偶圖。
定理1 每棵非平凡樹至少有兩片樹葉。
定理2 圖G是樹當且僅當G中任意兩點都被唯一的路連接。
定理3 設T是(n, m)樹，則：\(m=n-1\)
推論1 具有k個分支的森林有n-k條邊。
定理4 每個n階連通圖的邊數至少為n-1.
定理5 任意樹T的兩個不鄰接頂點之間添加一條邊后，可以得到唯一圈。
離心率、半徑、直徑、中心點、中心
(1)圖的頂點的離心率
(2)圖的半徑
(3)圖的直徑：最大離心率。
(4)圖的中心點：離心率等於半徑的點。
(5)圖的中心：中心點的集合。
(6)樹的形心概念與性質
設u是樹T的任意一個頂點，樹T在頂點u的分支是指包含u作為一個葉點的極大子樹，其分支數為頂點u的度數；樹T在u點的分支中邊的最大數目稱為點u的權；樹T中權值最小的點稱為它的一個形心點。全體形心點的集合稱為樹T的形心。
定理7 每棵樹的中心由一個點或兩個相鄰點組成。
定理8 每一棵樹有一個由一個點或兩個鄰接的點組成的形心。
二、生成樹
(一)、生成樹的概念與性質
定義1 圖G的一個生成子圖T如果是樹，稱它為G的一棵生成樹；若T為森林，稱它為G的一個生成森林。
生成樹的邊稱為樹枝，G中非生成樹的邊稱為弦。
定理1 每個連通圖至少包含一棵生成樹。
推論 若G是(n, m)連通圖，則m≧n-1
注：連通圖G的生成樹一般不唯一
(二)、生成樹的計數
1、凱萊遞推計數法
定義2 圖G的邊e稱為被收縮，是指刪掉e后，把e的兩個端點重合，如此得到的圖記為G.e
定理2 (Cayley) 設e是G的一條邊，則有：
凱萊公式的缺點之一是計算量很大，其次是不能具體指出每棵生成樹。
2、關聯矩陣計數法
定義3 ：n×m矩陣的一個階數為min｛n, m｝的子方陣，稱為它的一個主子陣；主子陣的行列式稱為主子行列式。
定理3 設\(A_m\)是連通圖G的基本關聯矩陣的主子陣，則\(A_m\)奇異的充分必要條件是相應於\(A_m\)的列的那些邊構成G的一棵生成樹。
注： 基本關聯矩陣為關聯矩陣中划去任意結點V所對應的行。
該定理給出了求連通圖G的所有生成樹的方法：
(1) 寫出G的關聯矩陣，進一步寫出基本關聯矩陣，記住參考點；
(2) 找出基本關聯矩陣的非奇異主子陣，對每個這樣的主子陣，畫出相應的生成樹。
該方法的優點是不僅指出生成樹棵數，而且能繪出所有不同生成樹；缺點是找所有非奇異主子陣計算量太大！
3*、矩陣樹定理
定理4 (矩陣樹定理) 設G是頂點集合為V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,的圖，設A=(aij)是G的鄰接矩陣，C=(cij)是n階方陣，其中：
則G的生成樹棵數為C的任意一個余子式的值。
定理中的矩陣C又稱為圖的拉普拉斯矩陣，又可定義為：
其中，D(G)是圖的度對角矩陣，即主對角元為對應頂點度數，其余元素為0。A(G)是圖的鄰接矩陣。
定理7 \(\tau(K_n)=n^{n-2}\)
(二)、回路系統簡介
定義4 設T是連通圖G的一棵生成樹，把屬於G但不屬於T的邊稱為G關於T的連枝，T中的邊稱為G關於T的樹枝。
在上圖中，紅色邊導出圖的一棵生成樹。則紅色邊為G對應於該生成樹的樹枝，白色邊為G對應於該生成樹的連枝
定義5 設T是連通圖G的一棵生成樹，由G的對應於T一條連枝與T中樹枝構成的唯一圈C，稱為G關於T的一個基本圈或基本回路。若G是(n, m)連通圖，把G對應於T的m-n+1個基本回路稱為G對應於T的基本回路組。記為\(C_f\) .
定理4 設T是連通圖G=(n, m) 的一棵生成樹,C1, C2,…,Cm-n+1是G對應於T的基本回路組。定義：1.Gi=Gi , 0.Gi=Φ,Gi是G的回路。則G的回路組作成的集合對於該乘法和圖的對稱差運算來說作成數域F=｛0,1｝上的m-n+1維向量空間。
說明: 連通圖G的所有回路作成子圖空間的一個子空間，該空間稱為回路空間或回路系統。
三、最小生成樹
在圖中求所謂的最小生成樹問題。或稱為賦權圖中的最小連接問題。
最小連接問題的一般提法為：
在連通邊賦權圖G中求一棵總權值最小的生成樹。該生成樹稱為最小生成樹或最小代價樹。
(一)、克魯斯克爾算法
1、算法思想 從G中的最小邊開始，進行最小權避圈式擴張。
定理1 由克魯斯克爾算法得到的任何生成樹一定是最小生成樹。(證明略)
(二)、管梅谷的破圈法
破圈法求最小生成樹的求解過程是：從賦權圖G的任意圈開始，去掉該圈中權值最大的一條邊，稱為破圈。不斷破圈，直到G中沒有圈為止，最后剩下的G的子圖為G的最小生成樹。
(三)、Prim算法
對於連通賦權圖G的任意一個頂點u，選擇與點u關聯的且權值最小的邊作為最小生成樹的第一條邊e1;
在接下來的邊e2,e3,…,en-1 ,在與一條已經選取的邊只有一個公共端點的的所有邊中，選取權值最小的邊。
(四)、根樹簡介
1.概念
定義2： 一棵樹T，如果每條邊都有一個方向，稱這種樹為有向樹。對於T的頂點v來說，以點v為終點的邊數稱為點v的入度，以點v為起點的邊數稱為點v的出度。入度與出度之和稱為點v的度。
定義3： 一棵非平凡的有向樹T，如果恰有一個頂點的入度為0，而其余所有頂點的入度為1，這樣的的有向樹稱為根樹。其中入度為0的點稱為樹根，出度為0的點稱為樹葉，入度為1，出度大於1的點稱為內點。又將內點和樹根統稱為分支點。
定義4： 對於根樹T，頂點v到樹根的距離稱為點v的層數；所有頂點中的層數的最大者稱為根樹T的樹高。
定義5： 對於根樹T，若規定了每層頂點的訪問次序，這樣的根樹稱為有序樹(先序遍歷，中序遍歷，后序遍歷)。
定義6： 對於根樹T，由點v及其v的后代導出的子圖，稱為根樹的子根樹。
定義7： 對於根樹T，若每個分支點至多m個兒子，稱該根樹為m元根樹；若每個分支點恰有m個兒子，稱它為完全m元樹。
2.性質
定理2 在完全m元樹T中，若樹葉數為t , 分支點數為i , 則：
3.有序樹轉為二元樹
4.最優二元樹
定義8 設T是一棵二元樹，若對所有t片樹葉賦權值wi(1≦i≦t),且權值為wi的樹葉層數為L(wi),稱：
為該賦權二元樹的權。而在所有賦權為wi的二元樹中W(T)最小的二元樹稱為最優二元樹。
哈夫曼算法：
總結：常用符號說明
T 樹
\(\tau(G)\) 表示G的生成樹棵數。
\(A(G)\) 表示圖G的鄰接矩陣
\(D(G)\) 表示圖G的度對角矩陣
總結：常用性質定理
1、最小生成樹求法：
1.克魯斯克爾算法（避圈法）
2.管梅谷的破圈法
3Prim算法
2、矩陣樹定理：求圖G的生成樹的棵數
則G的生成樹棵數為C的任意一個余子式的值。定理中的矩陣C又稱為圖的拉普拉斯矩陣，又可定義為：
其中，D(G)是圖的度對角矩陣，即主對角元為對應頂點度數，其余元素為0。A(G)是圖的鄰接矩陣。
3、哈夫曼算法：求最優二元樹
總結：一些結論
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設G是具有n個點m條邊的圖，則下列命題等價
（1）G 是樹
（2）G 無環且任意兩個不同點之間存在唯一的路
（3）G 連通，刪去任一邊便不連通
（4）G 連通，且 n = m + 1
（5）G 無圈，且 n = m + 1
（6）G 無圈，添加任何一條邊可得唯一的圈
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樹和森林都是簡單圖
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樹和森林都是偶圖
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每棵非平凡樹至少含有兩片樹葉
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樹是含有邊數最少的連通圖，成為最小連通圖
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樹是含有邊數最多的無圈圖
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假定（n,m）圖G是由k棵樹組成的森林，則m=n-k
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若G是樹，且最大度大於等於k，則G至少有k片葉子
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設T是(n, m)樹，則m=n-1
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在完全m元樹T中，若樹葉數為t , 分支點數為i , 則：\((m-1)i =t-1\)
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每個連通圖至少包含一棵生成樹
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\(\tau(K_n)=n^{n-2}\)
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非平凡樹不一定存在割點，但一定存在割邊，比如\(K_2\)
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非平凡樹T，最多包含一個完美匹配
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非平凡樹T是只有一個面（外平面）的平面圖
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只有一個面的連通平面圖一定是樹